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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

Teorema de Stokes

Considere o campo vetorial F x , y , z = 2 x y , x 2 + z 2 , 2 y z em R 3 .

  1. Sem calcular potenciais, mostre que esse campo é conservativo.
  2. Calcule um potencial para esse campo.
  3. Calcule ∫ C   F . d r , onde C é a curva r t = cos 4 ⁡ t ,   s e n 2 t + cos 3 ⁡ t , t , para t ∈ [ 0 , π ] .

Passo 1

Letra a)

Bom, para mostrar que um campo é conservativo sem encontrar um potencial para ele, precisamos verificar que o seu rotacional é nulo:

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = 2 z - 2 z ,   0 - 0 ,   2 x - 2 x = ( 0,0 , 0 )

Passo 2

Letra b)

Vamos calcular f então, temos:

F → = ∇ f

Onde ∇ é o operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Temos então o seguinte:

2 x y , x 2 + z 2 , 2 y z   = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ ∂ z

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

∂ f ∂ x = 2 x y → f x , y , z = x 2 y + M ( y , z )

∂ f ∂ y = x 2 + z 2 → f x , y , z = x 2 y + y z 2 + P ( x , z )

∂ f ∂ z = 2 y z → f x , y , z = y z 2 + Q ( x , y )

Comparando as equações, vemos que:

M y , z = y z 2

P x , z = 0

Q x , y = x 2 y

O que nos dá

f x , y , z = x 2 y + y z 2 + k

Passo 3

Letra c)

Bom, se o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial, não é?

Pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

∫ C   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva C é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Para descobrir os pontos A e B , precisamos substituir t = 0 e t = π na parametrização da curva:

r t = cos 4 ⁡ t ,   s e n 2 t + cos 3 ⁡ t , t

r 0 = 1,1 , 0 )

r π = 1 , - 1 , π

Agora é só calcular f ( A ) e f ( B ) .

f 1,1 , 0 = 1 + 0 + k = 1 + k

f 1 , - 1 , π = - 1 - π 2 + k

Logo,

∫ C   F . d r = f B - f ( A )

∫ C   F . d r = - 1 - π 2 + k - 1 + k

= - 2 - π 2

Resposta

  1. f x , y , z = x 2 y + y z 2 + k
  2. - 2 - π 2

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