Campos conservativos
Considere o campo vetorial
- Sem calcular funções potenciais, justifique se é, ou nao, um campo conservativo.
- Se for conservativo, encontre a família de funções potenciais.
- Calcule a seguinte integral de linha
(o aluno não poderá apresentar a resposta por tentativa e erro, mas deverá desenvolver um método e verificar o resultado obtido.)
Passo 1
Letra a)
Como o campo é de classe e está definido em todo (não temos singularidades), basta calcularmos
E ver se essa diferença é zero. Digo, se . Temos:
Show, mostramos que o campo é conservativo.
Passo 2
Letra b)
Vamos calcular então, temos:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Temos então o seguinte:
Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.
Comparando as equações, vemos que:
O que nos dá
Passo 3
Letra c)
O problema nos pede a integral de linha
E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:
Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.
Ou seja, temos:
Resposta
- O campo é conservativo.