Seja
1. seja , mostrar que é conservativo em
2. seja mostrar que é um potencial de em
3. calcular a integral de ao longo da curva para
4. seja O campo é conservativo em Justificar a respota.
Passo 1
1. Para verificarmos se um campo é conservativo, calculamos seu rotacional. Se ele for igual a zero, sabemos que seu campo é conservativo, certo?
Bora lá então
Nosso rotacional então ficará
A outra condição seria que a região seja simplesmente conexa. E o nosso é, afinal, para toda curva fechada dentro de seu domínio, a região limitada por essa curva está toda contida no nesse domínio. Se você for observar, você poderia acabar se confundindo com aquela singuladirade (dividido por . Mas o problema só existe se tivessemos iguais a zero, no entanto esse valor não se encontra na região que estamos trabalhando, então tudo tranquilo.
Passo 2
2. Para sabermos se a função é potencial da outra, basicamente o que precisamos ter é
Quando Vamos então calcular as derivadas parciais
A derivada em relação a tem passo a passo similar, e encontramos com resultado
Opa, temos então que é sim uma função potencial de
Passo 3
3. Como nosso campinho é conservativo, para qualquer curva fechada contida em temos que a integral independe do caminho, então
Passo 4
4. O campo nesse caso NÃO é conservativo em Por que? Nesse caso existe pelo menos uma curva fechada dentro do domínio de W, onde a integral de linha em cima dessa curva fechada seria diferente de zero. Exemplo , para , onde teríamos como resultado dessa integral de linha
Cuidado que existir a singularidade apenas não é razão para o campo não ser conservativo, como explicamos lá na letra a), tranquilo? Então é isso