Seja Ω = x , y ∈ R 2 x , y ∉ A } , onde A é a semi-reta x , y ∈ R 2 y = 0   e   x ≥ 0 } . Calcule

∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y

Onde γ : 0,1 → R 2 é uma curva C 1 por partes, com imagem contida em Ω , tal que γ 0 = ( 1,1 ) e γ 1 = ( 1 , - 1 ) .

Passo 1

Bem, o que o exercício pede é uma integral de linha:

∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = ∫ a b F → x , y σ → ' t d t

Nós temos o campo F → = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , mas o enuciado não nos dá nenhuma curva específica, então não temos como parametrizá-la.

Então vamos torcer pra que possamos resolvê-la de outra forma... O que acha de uma função potencial? Parece uma boa ideia, vamos ver se dá!

Passo 2

A gente viu na teoria que, para podermos achar uma função potencial, o campo deve ser conservativo. Ou seja como ele está definido para toda a região (já que a reta y = 0 não pertence ao conjunto dado), só precisamos verificar:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Vamos testar:

∂ F 2 ∂ x = ∂ x x 2 + y 2 ∂ x = 1 ∙ x 2 + y 2 - x ∙ 2 x x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ F 1 ∂ y = ∂ - y x 2 + y 2 ∂ y = - 1 ∙ x 2 + y 2 - - y ∙ 2 y x 2 + y 2 2 = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

Valores meio estranhos, mas pelo menos:   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Ou seja, o campo é conservativo e existe uma função potencial!

Passo 3

Se existe uma função potencial f , a gente viu que:

∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = f B - f ( A )

Sendo A = ( 1,1 ) e B = ( 1 , - 1 ) .

Então só falta acharmos essa nossa função potencial f ( x , y ) , vamos lembrar do método que temos:

F 1 = ∂ f ∂ x   →   f = ∫ F 1 d x

  f x , y = ∫ - y x 2 + y 2   d x = - arctan ⁡ x y + g ( y )

F 2 = ∂ f ∂ y = ∂ - arctan ⁡ x y + g y ∂ y = - y x 2 + y 2 + g ' y = - y x 2 + y 2

→ g ' y = 0 → g y = C

Então:

f x , y = - arctan ⁡ x y + g y = - arctan ⁡ x y + C

Passo 4

Finalmente, vamos ter:

∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = f B - f A = - arctan ⁡ 1 - 1 + C - - arctan ⁡ 1 1 + C

∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y = f B - f A = arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ - 1

Mas, podemos ver pela circinferência trigonométrica:

O primeiro ponto é 1 , - 1 , logo para y negativo e x positivo:

arctan ⁡ ( - 1 ) = - π 4

O primeiro ponto é 1,1 , logo para y positivo e x positivo:

arctan ⁡ ( 1 ) = π 4

Então:

arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ - 1 = π 4 - - π 4 = π 2

Resposta

π 2

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