Campos conservativos
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (aviso: resposta errada ou resposta certa sem justificativa receberá zero no item respectivo).
A função , onde , é um potencial para o campo , para
Passo 1
Bom, para ser um potencial do campo , precisamos que:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Temos que mostrar então o seguinte:
Primeiro, nós vamos trabalhar com o lado esquerdo dessa equação, depois com o direito, ok?
Passo 2
O campo pode ser escrito como:
Substituindo o valor de dado pelo enunciado:
Beleza?
Passo 3
A função potencial , pode ser escrita como:
Logo,
O que nos dá
Passo 4
Assim, nós provamos que:
Resposta
Verdadeira.
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6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
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Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen x , cos y , em R 2