Parábolas

Teoria Completa

O que são cônicas?

Lembra no colégio quando estudamos as equações de segundo grau? Por exemplo, essa equação aqui

x 2 = 8 y

é uma equação do segundo grau, concorda?! Vamos tentar entender aqui um pouco melhor o que elas significam e a utilidade delas, show de bola?!?!

Então vamos lá! Por acaso você já viu essas curvas que estão na figura a seguir??

A curva verde, talvez, seja a mais familiar, pois já vimos ela no colégio, é uma parábola (lembra das equações de segundo grau?). As outras já são um pouco diferentes!! A curva azul chamamos de elipse e as duas curvas em vermelho formam o que chamamos de uma hipérbole.

Essas figuras são chamadas de cônicas. São curvas definidas por certas equações predeterminadas e que são desenhadas no plano, ou seja, em 2D.

Bora começar pela parábola, que para alguns já é uma velha conhecida!!

O que é uma Parábola?

Ok, você deve se lembrar das aulas de matemática do ensino médio, que a parábola representa um gráfico das equações de segundo grau né? Pois é! Esse é o momento que peço pra você esquecer dessa definição e tentar enxergar a parábola com outros olhos, rs!

Vamos estudar a definição geométrica de parábola:

“Dado uma reta d e um ponto F, A parábola é o lugar geométrico dos pontos cuja a distância até F é igual a distância até a reta d.”

d F , P = d ( P , P ' )

Relaxa que já já você vai entender!

Vamos lá, a definição fala de uma reta d e um ponto F né? Vamos começar daí:

Observe agora essa imagem:

Notou que escolhendo esse ponto P a distância entre o ponto P   e a reta d é igual a distância entre ele e o ponto F ? Esse ponto vai pertencer a parábola!

Para encontrá-la agora precisamos descobrir todos os pontos com essa propriedade:

Prontinho já achamos a tão famosa parábola, o lugar geométrico dos pontos cuja a distância até F é igual a distância até a reta d. Fez mais sentido agora né?

Elementos da Parábola

Para construir e estudar a parábola, vamos precisar de alguns nomes. Observe a figura:

Temos que:

  • Foco é o ponto F
  • Reta Diretriz, reta d
  • Eixo é a reta que contém o foco e é perpendicular a reta diretriz
  • Vértice que é o ponto V o qual é a interseção da parábola com o seu eixo, equidistante ao foco e à reta diretriz.
  • Depois que traçou essa reta perpendicular a diretriz, nós obtemos mais umas relaçoes importantes:

    • d V , A = d ( V , F ) , ou seja, o vértice é equidistante ao foco e à reta diretriz
    • O Parâmetro ( p ) de uma parábola é a distância entre o foco e a diretriz

    Tipos de Parábolas

    A parábola pode estar desenhada de 3 maneiras diferentes:

    Caso 1 - Vértice da parábola é a origem e o seu eixo é o eixo dos y

    Caso 2 - Vértice da parábola é a origem e o seu eixo é o eixo dos x

    Caso 3 – Translação

    Show de bola?! Não se assuste pequeno gafanhoto, pois vamos estudar cada um dos casos!

    Caso 1

    Trata-se de uma parábola com o vértice sendo a origem e o seu eixo é o eixo dos y . Vamos pensar num exemplo:

    Observe a expressão x 2 = 8 y .

    Atribuindo valores para x e encontrando y , temos a tabela:

    Colocando esses pontos no plano e ligando eles, temos isso aqui

    Obtemos o que queríamos , uma parábola com o vértice sendo a origem e o seu eixo é o eixo dos y . Vamos generalizar agora:

    Bem, seja um ponto P com coordenadas ( x ,   y ) um ponto qualquer da parábola de foco F 0 , p 2 temos algo desse tipo:

    Essa parábola ta do mesmo jeitão da que vimos no exemplo ali em cima né? Hehe

    Da definição de parábola, temos que:

    d F , P = d P , P '

    Então nesse caso temos que:

    d F , P = d P , P ' → P F → = P P ' →

    Sendo P ' pertencente à reta diretriz, temos que P ' = x ,   - p 2 enquanto F = 0 , p 2 . Substituindo e calculando a distância da expressão temos:

    d F , P = d P , P '

    ( 0 - x ) 2 - ( p 2 - y ) ² = ( x - x ) 2 + ( y - ( - p 2 ) 2

    Resolvendo essa equação chegamos em:

    Essa é a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem e eixo no eixo y .

    Então lá no nosso exemplo, em que x 2 = 8 y , temos x 2 = 2.4 y , ou seja, ali temos que p = 4

    Como x 2 é sempre um valor positivo, os valores de p e y têm duas possibilidades:

  • p > 0   e   y > 0
  • p < 0     e   y < 0

Com essas duas possibilidade surgem as parábolas que conhecemos lá no fundamental!! Assim, na figura a seguir estão as duas possibilidades para p e y bem como suas retas diretrizes!!

Esse foi nosso primeiro caso!! Vamos para o segundo caso!!

Caso 2

Vamos supor que ao invés de x 2 = 8 y , tivéssemos y 2 = 8 x . Fazendo o mesmo esquema que fizemos ali em cima, nossa parábola ficaria assim:

Eita! Como assim agora ela ta deitada?? Vamos analisar esse caso com essa figura genérica:

O passo a passo para determinar a equação da parábola é o mesmo do caso anterior, mas agora nosso foco é F p 2 , 0 , nosso P ' = ( - p 2 , y ) , fazendo o cálculo da distância, chegamos na expressão:

d F , P = d P , P '

( p 2 - x ) 2 - ( 0 - y ) ² = ( x - ( - p 2 ) ) 2 + ( y - y ) 2

Essa é a equação da parábola quando o vértice é V = ( 0 ,   0 ) e o eixo é o eixo x . Para esse caso novamente temos duas possibilidades para p e x , mostradas na figura:

No nosso exemplo, y 2 = 8 x → y 2 = 2.4 x , então p = 4 e a nossa diretriz é x = - 2 .

Caso 3

Agora vamos supor a equação ( x - 6 ) ² = 8 ( y - 4 ) . Opa, repara que nesse caso ela ta “flutuando”, não ta colada em nenhum eixo:

Para entendermos bem esse caso, vamos começar falando de translação!! Translação nada mais é que uma mudança de coordenadas, como mostra a figura a seguir:

Na figura temos o sistema x y que é nosso velho conhecido, mas também temos em linhas tracejadas o sistema x ' y ' que foi criado para facilitar nossa vida. Então, olhando para a figura vemos que:

x = x ' + h               e             y = y ' + k

Reescrevendo:

x ' = x - h           e           y ' = y - k

Então no nosso exemplo:

( x - 6 ) ² = 8 ( y - 4 )

Para resolver, vamos supor que y ' = y - 4 e que x ' = x - 6 , então teremos:

x ' 2 = 8 y '

Com essa mudança de coordenadas caímos novamente no caso 1 ou 2.

Nesse caso, já vimos no caso 1 que V ' = ( 0 ,   0 ) , F ' = ( 0 ,   2 ) , d ' : y ' = - 2 . Mas, agora tudo isso está no sistema x ' y ' , agora vamos passar novamente pra x y , lembrando que x = x ' + 6 e y = y ' + 4 :

V = 0 + 6 ,   0 + 4 = ( 6 ,   4 )

F = 0 + 6 ,   2 + 4 = ( 6 ,   6 )

d : y = - 2 + 4 → y = 2

Então basicamente a coisa aqui é mudar as coordenadas, achar os parâmetros em x ' y ' e depois mudar de coordenada de novo beleza??

Essas ideias ficarão ainda mais claras nos exercícios!! Então vamos lá!! :D

Exercício Resolvido #1

UFF, Lista 4 – Exercícios Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, página 2, exercício 11

Encontrar as coordenadas do vértice, o foco e a equação da diretriz de cada uma das seguintes parábolas:

  1. y 2 = 2 x
  2. y 2 = - 9 x - 4
  3. ( y + 5 ) 2 = 4 3 ( x - 6 )
  4. x 2 = - 4 y
  5. x 2 = - 4 ( y - 2 )
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Passo 1

Opa!! Nosso problema envolve as parábolas!! Então, vamos colocar em prática tudo o que vimos sobre parábolas!! O enunciado pede para encontrarmos as coordenadas do vértice, o foco e a equação diretriz de cada uma das parábolas. Então, bora começar!!

Passo 2

a) y 2 = 2 x

Essa expressão tem o jeito parecido de uma das equações que vimos na teoria, que é a seguinte:

y 2 = 2 p x

Vimos também que essa equação é a equação de uma parábola que possui vértice na origem V ( 0 ,   0 ) e seu eixo é o eixo x . Bom, já temos o vértice e o eixo só de lembrar da teoria. Também sabemos, que com essas características o foco é F p 2 , 0 . Mas, quem é p ?

Para achar p devemos comparar y 2 = 2 x     e       y 2 = 2 p x

Comparando, temos:

2 = 2 p → p = 1

Então,

F = 1 2 ,   0

E nossa, diretriz?

A diretriz está sempre a uma distância p 2 do vértice, como nosso foco está na parte positiva,então isso indica que nossa diretriz estará na parte negativa:

Portanto, nossa diretriz é:

x = - 1 2

Pronto!! Nossa primeira parábola já está definida: V 0,0 ,   F 1 2 ,   0   e   x = - 1 2

Passo 3

b) y 2 = - 9 x - 4

Essa equação não se parece nem com o caso 1 e nem com o caso 2, mas com o caso 3, que possui translação!! É isso mesmo!!

Como vimos, para resolver esse tipo de exercício primeiro passamos a equação para um sistema genérico x ' y ' , resolvemos tudo para esse sistema e depois passamos para o sistema cartesiano novamente.

Então, nosso sistema genérico será:

y ' = y

x ' = x - 4

Fazendo essas mudanças, teremos:

y ' 2 = - 9 x '

Vamos resolver, normalmente! Então primeiro, vamos encontrar o valor de p :

y ' 2 = 2 p x ' → y ' 2 = - 9 x '

Comparando:

2 p = - 9 → p = - 9 2

Nosso foco no sistema x ' y ' será:

F p 2 ,   0 =   F - 9 4 ,   0

O vértice no sistema x ' y ' é V = ( 0,0 ) .

Como temos que nosso foco está na parte negativa, então nossa reta diretriz estará na parte positiva e será x ' = p 2 . Logo,

x ' = 9 4

Sempre lembre que o foco e a diretriz são simétricos em relação a algum dos eixos.

Bom, chegamos em todos os resultados, mas os resultados está no sistema x ' y ' , então chegou a hora de usarmos as relações,

y ' = y   ( 1 )

x ' = x - 4   ( 2 )

Para passarmos do x ' y ' para x y .

Assim, para o sistema x ' y ' temos:

V 0,0 ,   F - 9 4 ,   0     e     x ' = 9 4

Substituindo as relações ( 1 ) e ( 2 ) ,temos:

V 0,0

x ' = 0 → x ' = x - 4

0 = x - 4 → x = 4

y ' = 0 → y ' = y → y = 0

V   n o   x y → V ( 4,0 )

F - 9 4 ,   0

x ' = - 9 4 → x ' = x - 4

- 9 4 = x - 4 → x = 7 4

y ' = 0 → y ' = y → y = 0

F   n o   x y → F 7 4 , 0

x ' = 9 4

x ' = x - 4 → 9 4 = x - 4 → x = 25 4

D i r e t r i z   n o   x y → x = 25 4

Nossa parábola nos eixos x y possuem os seguintes elementos: V 4,0 ,   F 7 4 , 0   e   x = 25 4  

Passo 4

c) ( y + 5 ) 2 = 4 3 ( x - 6 )

Esse item é parecido com o anterior, o que vai alterar são as relações de x ' e y ' .

Então, primeiro escrevendo essas relações, temos:

y ' = y + 5

x ' = x - 6

Assim, teremos a expressão em x ' y ' :

y ' 2 = 4 3 x '

Vamos tratar esse problema normalmente só que a diferença é que estamos num sistema de coordenadas x ' y ' , mas isso resolvemos depois ;).

Pelo jeito da expressão sabemos que o eixo da nossa parábola é o eixo x ' e que o vértice no sistema x ' y ' é V = ( 0,0 ) . Vamos encontrar o valor de p para acharmos o foco e a diretriz!!

y ' 2 = 2 p x ' → y ' 2 = 4 3 x '

Comparando, temos:

2 p = 4 3 → p = 2 3

Nosso foco no sistema x ' y ' é F ( p 2 , 0 ) ,portanto:

F = 1 3 ,   0

Como nosso foco está no lado positivo, nossa diretriz estará no negativo, então:

x ' = - 1 3

Pronto! O problema terminou!! Nada disso!! Cuidado, achamos os resultados para o sistema genérico x ' y ' , mas as respostas sempre devemos dar em coordenadas cartesianas x y . Então, para terminar vamos usar as relações:

y ' = y + 5   ( 3 )

x ' = x - 6     ( 4 )

Substituindo, temos:

V 0 ,   0

x ' = 0 →   x ' = x - 6

0 = x - 6 → x = 6

y ' = 0 → y ' = y + 5

0 = y + 5 → y = - 5

V   e m   x y → V ( 6 ,   - 5 )

F = 1 3 ,   0

x ' = 1 3 → x ' = x - 6

1 3 = x - 6 → x = 19 3

y ' = 0 → y ' = y + 5

0 = y + 5 → y = - 5

F   e m   x y → F 19 3 ,   - 5

x ' = - 1 3

x ' = x - 6 →   - 1 3 = x - 6

D i r e t r i z   e m   x y → x = 17 3

Agora, sim!! Nossas respostas são:   V ( 6 ,   - 5 ) , F 19 3 ,   - 5   e   x = 17 3

Passo 5

d) x 2 = - 4 y

Nesse item não temos mais translação, mas note que agora quem está elevado ao quadrado éo x e não mais o y como estávamos fazendo. Então, agora, estamos no 1º caso da teoria.

Se estamos no 1º caso da teoria sabemos que o vértice é V = ( 0 ,   0 ) e que o eixo da parábola será, agora, o eixo dos y . Falta, então, calcularmos o valor de p para então descobrirmos as coordenadas do foco e a reta diretriz.

Então, comparando:

  x 2 = 2 p y →   x 2 = - 4 y

2 p = - 4

p = - 2

Nosso foco nesse caso é F = 0 , p 2 como vimos na teoria. Achamos que p = - 2 , substituindo temos:

F = 0 ,   - 2 2 → F = ( 0 ,   - 1 )

Como nosso foco é negativo, a diretriz estará na parte positiva como mostra a figura:

Calculando será:

y = p 2

y = 1

Pronto!! Como não tivemos que fazernenhuma mudança de coordenadas todos os nossos resultados já estão nas coordenadas x y . Então, temos como resultado: V = 0 ,   0 ,   F = ( 0 ,   - 1 ) e y = 1 .

Passo 6

e) x 2 = - 4 ( y - 2 )

Nosso problema agora é parecido com o do item anterior, mas com translação, ou seja, teremos que fazer uma mudança de coordenadas. Para isso, vamos excrever as relações:

x ' = x

y ' = y - 2

Substituindo essas relações obtemos a seguinte expressão no sistema x ' y ' :

x ' 2 = - 4 y '

Agora, estamos no caso do item anterior, mas num sistema transladado. Vamos calcularos parâmetros normalmente e depois fazemos a mudança de coordenadas. Pelo jeitão da expressão estamos no primeiro caso, ou seja, V = ( 0 ,   0 ) e nosso eixo é o eixo y ' . Lembrando, como fizemos uma mudança de variável trabalharemos com o sistema x ' y ' . Podemos comparar então:

x ' 2 = - 4 y ' →   x ' 2 = 2 p y '

2 p = - 4

p = - 2

Da teoria sabemos, que F = 0 , p 2 , então nosso foco no sistema x ' y ' fica:

F = 0 ,   - 1

E nossa diretriz, também no sistema x ' y ' é y ' = p 2 . Como nosso foco está na parte negativa, nossoa diretriz estará na parte positiva, então:

y ' = 1

Já que achamos tudo o que precisávamos no sistema x ' y ' , agora sim, podemos passar para o sistema x y . Para isso vamos utilizar as relações:

x ' = x

y ' = y - 2

Substituindo, teremos:

V 0 ,   0

x ' = 0 → x ' = x

x = 0

y ' = 0 → y ' = y - 2

0 = y - 2 → y = 2

V   n o   x y → V 0 ,   2

F = 0 ,   - 1

x ' = 0 → x ' = x → x = 0

y ' = - 1 → y ' = y - 2

- 1 = y - 2 → y = 1

F   n o   x y → F 0 ,   1

y ' = 1

y ' = y - 2 → 1 = y - 2

D i r e t r i z   n o   x y → y = 3

Terminamos!! A solução desse item é: V 0 ,   2 , F 0 ,   1 e y = 3 .

Resposta

a )   V 0,0 ,   F 1 2 ,   0   e   x = - 1 2

b )   V 4,0 ,   F 7 4 , 0   e   x = 25 4  

c ) V ( 6 ,   - 5 ) , F 19 3 ,   - 5   e   x = 17 3

d ) V = 0 ,   0 ,   F = ( 0 ,   - 1 ) e y = 1

e )   V 0 ,   2 , F 0 ,   1 e y = 3

Exercício Resolvido #2

UFF, Lista 4 – Exercícios Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, página 4, exercício 27

Achar a equação da parábola que passa pelos pontos ( 0 ,   0 ) , ( 1 ,   - 1 ) e 3 2 ,   - 1 2

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Passo 1

Nossa! Não sei nem por onde começar!!

Calma!! Tem um detalhe que ainda não falamos que vai te ajudar muito!!

O detalhe é o seguinte:

- Se a reta diretriz for paralela ao eixo x então a equação é y = a x 2 + b x + c