Parábolas

Resumo Completo

Por acaso você já viu essas curvas que estão na figura a seguir??

A curva verde, talvez, seja a mais familiar, pois já vimos ela no colégio, é uma parábola. As outras já são um pouco diferentes!! A curva azul chamamos de elipse e as duas curvas em vermelho formam o que chamamos de uma hipérbole.

A pergunta que tenho a fazer é:

Como definir essas curvas? Qual a sua equação?

Calma!! Vamos ensinar tudo o que você precisa saber sobre cônicas, pois essa é uma forma genérica de chamar essas curvas!!

Bora começar pela parábola, que para alguns já é uma velha conhecida!!

Parábola

A parábola é a curva que está a seguir:

Mas, como eu escrevo a equação desta parábola?

Para isso, vamos ter que falar um pouquinho sobre a definição do que é uma parábola!!

Se considerarmos uma reta d e um ponto F não pertencente a d , uma parábola é formada pelos pontos que são equidistantes de F e d .

Assim, para chegarmos numa equação da parábola, vamos usar sua definição propriamente dita, ou seja:

d F , P = d ( P , P ' )

Antes, de desenvolvermos a equação da parábola precisamos conhecer suas componentes!!

Na figura acima temos várias informações que definem uma parábola, entre elas:

  • Foco é o ponto F
  • Reta Diretriz, reta d
  • Eixo é a reta que contêm o foco e é perpendicular a reta diretriz
  • Vértice que é o ponto V o qual é a interseção da parábola com o seu eixo.
  • Uma informação importante que está implícita na figura anterior é a de que a distância entre os pontos d V , A = d ( V , F ) .

    As figuras que apresentamos até agora estão desenhadas num sistema de coordenadas qualquer, mas como estamos acostumados ao sistema cartesiano vamos escrever as equações no sistema cartesiano. Para isso, vamos dividir nosso estudo em 3 casos:

    Caso 1 - Vértice da parábola é a origem e o seu eixo é o eixo dos y

    Caso 2 - Vértice da parábola é a origem e o seu eixo é o eixo dos x

    Caso 3 - Translação

    Caso 1:

    Para o primeiro caso temos a seguinte figura:

    Seja P ( x ,   y ) um ponto qualquer da parábola de foco F 0 , p 2 . Da definição de parábola, temos que:

    P F = P P '       o u       F P = P ' P

    Sendo P ' pertencente à reta diretriz, temos que P ' = x ,   - p 2 . Substituindo e calculando a distância da expressão temos:

    Essa expressão é a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem e eixo no eixo y .

    Ainda, analisando a expressão que obtemos percebe-se que x 2 é sempre um valor positivo, ou seja, x 2 0 , com isso os valores de p e y , tem duas possibilidade:

  • p > 0   e   y > 0
  • p < 0     e   y < 0
  • Com essas duas possibilidade surgem as parábolas que conhecemos lá no fundamental!! Assim, na figura a seguir estão as duas possibilidades para p e y bem como suas retas diretrizes!!

    Esse foi nosso primeiro caso!! Vamos para o segundo caso!!

    Caso 2:

    Nesse caso devemos considerar a figura a seguir:

    O passo a passo para determinar a equação da parábola é o mesmo do caso anterior, mas agora nosso foco é F p 2 , 0 , nosso P ' = ( - p 2 , y ) , fazendo o cálculo da distância:

    P F = P P '       o u       F P = P ' P

    Chegamos na expressão:

    Essa é a equação da parábola quando o vértice é V = ( 0 ,   0 ) e o eixo é o eixo x . Para esse caso novamente temos duas possibilidades para p e x :

  • p > 0     e     x > 0
  • p < 0     e     x < 0

Na figura a seguir está os dois casos junto com as respectivas curvas diretrizes.

Vimos dois casos onde o vértice está na origem do sistema cartesiano, mas e se a nossa curva estiver como na figura a seguir:

Quando isso ocorre estaremos no nosso caso 3, que é quando ocorre a translação dos eixos!!

Como assim?? Vamos ver agora!!

Caso 3:

Para entendermos bem esse caso, vamos começar falando de translação!! Translação nada mais é que uma mudança de coordenadas, como mostra a figura a seguir:

Na figura temos o sistema x y que é nosso velho conhecido, mas também temos em linhas tracejadas o sistema x ' y ' que foi criado para facilitar nossa vida. Então, olhando para a figura vemos que:

x = x ' + h               e             y = y ' + k

Reescrevendo:

x ' = x - h           e           y ' = y - k

Essa é a relação que usaremos quando tivermos, por exemplo, a equação:

( x - h ) 2 = 2 p y - k    

Para resolver, vamos supor que y ' = y - k e que x ' = x - h , então teremos:

x ' 2 = 2 p y '

Fazendo a mudança de coordenadas caímos novamente no caso 1 ou 2, então achamos os elementos no sistema x ' y ' e então passamos para o sistema x y que é o que nós queremos trabalhar, ou seja, o sistema cartesiano.

Essas ideias ficarão mais claras nos exercícios!! Por isso, não deixe de fazê-los!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UFF, Lista 4 – Exercícios Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, página 2, exercício 11

Encontrar as coordenadas do vértice, o foco e a equação da diretriz de cada uma das seguintes parábolas:

  1. y 2 = 2 x
  2. y 2 = - 9 x - 4
  3. ( y + 5 ) 2 = 4 3 ( x - 6 )
  4. x 2 = - 4 y
  5. x 2 = - 4 ( y - 2 )
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Opa!! Nosso problema envolve as parábolas!! Então, vamos colocar em prática tudo o que vimos sobre parábolas!! O enunciado pede para encontrarmos as coordenadas do vértice, o foco e a equação diretriz de cada uma das parábolas. Então, bora começar!!

Passo 2

a) y 2 = 2 x

Essa expressão tem o jeito parecido de uma das equações que vimos na teoria, que é a seguinte:

y 2 = 2 p x

Vimos também que essa equação é a equação de uma parábola que possui vértice na origem V ( 0 ,   0 ) e seu eixo é o eixo x . Bom, já temos o vértice e o eixo só de lembrar da teoria. Também sabemos, que com essas características o foco é F p 2 , 0 . Mas, quem é p ?

Para achar p devemos comparar y 2 = 2 x     e       y 2 = 2 p x

Comparando, temos:

2 = 2 p p = 1

Então,

F = 1 2 ,   0

E nossa, diretriz?

A diretriz está sempre a uma distância p 2 do vértice, como nosso foco está na parte positiva,entãoisso indica que nossa diretriz estará na parte negativa:

Portanto, nossa diretriz é:

x = - 1 2

Pronto!! Nossa primeira parábola já está definida: V 0,0 ,   F 1 2 ,   0   e   x = - 1 2

Passo 3

b) y 2 = - 9 x - 4

Essa equação não se parece nem com o caso 1 e nem com o caso 2, mas com o caso 3, que possui translação!! É isso mesmo!!

Como vimos, para resolver esse tipo de exercício primeiro passamos a equação para um sistema genérico x ' y ' , resolvemos tudo para esse sistema e depois passamos para o sistema cartesiano novamente.

Então, nosso sistema genérico será:

y ' = y

x ' = x - 4

Fazendo essas mudanças, teremos:

y ' 2 = - 9 x '

Vamos resolver, normalmente! Então primeiro, vamos encontrar o valor de p :

y ' 2 = 2 p x ' y ' 2 = - 9 x '

Comparando:

2 p = - 9 p = - 9 2

Nosso foco no sistema x ' y ' será:

F p 2 ,   0 =   F - 9 4 ,   0

O vértice no sistema x ' y ' é V = ( 0,0 ) .

Como temos que nosso foco está na parte negativa, então nossa reta diretriz estará na parte positiva e será x ' = p 2 . Logo,

x ' = 9 4

Sempre lembre que o foco e a diretriz são simétricos em relação a algum dos eixos.

Bom, chegamos em todos os resultados, mas os resultados está no sistema x ' y ' , então chegou a hora de usarmos as relações,

y ' = y   ( 1 )

x ' = x - 4   ( 2 )

Para passarmos do x ' y ' para x y .

Assim, para o sistema x ' y ' temos:

V 0,0 ,   F - 9 4 ,   0     e     x ' = 9 4

Substituindo as relações ( 1 ) e ( 2 ) ,temos:

V 0,0

x ' = 0 x ' = x - 4

0 = x - 4 x = 4

y ' = 0 y ' = y y = 0

V   n o   x y V ( 4,0 )

F - 9 4 ,   0

x ' = - 9 4 x ' = x - 4

- 9 4 = x - 4 x = 7 4

y ' = 0 y ' = y y = 0

F   n o   x y F 7 4 , 0

x ' = 9 4

x ' = x - 4 9 4 = x - 4 x = 25 4

D i r e t r i z   n o   x y x = 25 4

Nossa parábola nos eixos x y possuem os seguintes elementos: V 4,0 ,   F 7 4 , 0   e   x = 25 4  

Passo 4

c) ( y + 5 ) 2 = 4 3 ( x - 6 )

Esse item é parecido com o anterior, o que vai alterar são as relações de x ' e y ' .

Então, primeiro escrevendo essas relações, temos:

y ' = y + 5

x ' = x - 6

Assim, teremos a expressão em x ' y ' :

y ' 2 = 4 3 x '

Vamos tratar esse problema normalmente só que a diferença é que estamos num sistema de coordenadas x ' y ' , mas isso resolvemos depois ;).

Pelo jeito da expressão sabemos que o eixo da nossa parábola é o eixo x ' e que o vértice no sistema x ' y ' é V = ( 0,0 ) . Vamos encontrar o valor de p para acharmos o foco e a diretriz!!

y ' 2 = 2 p x ' y ' 2 = 4 3 x '

Comparando, temos:

2 p = 4 3 p = 2 3

Nosso foco no sistema x ' y ' é F ( p 2 , 0 ) ,portanto:

F = 1 3 ,   0

Como nosso foco está no lado positivo, nossa diretriz estará no negativo, então:

x ' = - 1 3

Pronto! O problema terminou!! Nada disso!! Cuidado, achamos os resultados para o sistema genérico x ' y ' , mas as respostas sempre devemos dar em coordenadas cartesianas x y . Então, para terminar vamos usar as relações:

y ' = y + 5   ( 3 )

x ' = x - 6     ( 4 )

Substituindo, temos:

V 0 ,   0

x ' = 0   x ' = x - 6

0 = x - 6 x = 6

y ' = 0 y ' = y + 5

0 = y + 5 y = - 5

V   e m   x y V ( 6 ,   - 5 )

F = 1 3 ,   0

x ' = 1 3 x ' = x - 6

1 3 = x - 6 x = 19 3

y ' = 0 y ' = y + 5

0 = y + 5 y = - 5

F   e m   x y F 19 3 ,   - 5

x ' = - 1 3

x ' = x - 6   - 1 3 = x - 6

D i r e t r i z   e m   x y x = 17 3

Agora, sim!! Nossas respostas são:   V ( 6 ,   - 5 ) , F 19 3 ,   - 5   e   x = 17 3

Passo 5

d) x 2 = - 4 y

Nesse item não temos mais translação, mas note que agora quem está elevado ao quadrado éo x e não mais o y como estávamos fazendo. Então, agora, estamos no 1º caso da teoria.

Se estamos no 1º caso da teoria sabemos que o vértice é V = ( 0 ,   0 ) e que o eixo da parábola será, agora, o eixo dos y . Falta, então, calcularmos o valor de p para então descobrirmos as coordenadas do foco e a reta diretriz.

Então, comparando:

  x 2 = 2 p y   x 2 = - 4 y

2 p = - 4

p = - 2

Nosso foco nesse caso é F = 0 , p 2 como vimos na teoria. Achamos que p = - 2 , substituindo temos:

F = 0 ,   - 2 2 F = ( 0 ,   - 1 )

Como nosso foco é negativo, a diretriz estará na parte positiva como mostra a figura:

Calculando será:

y = p 2

y = 1

Pronto!! Como não tivemos que fazernenhuma mudança de coordenadas todos os nossos resultados já estão nas coordenadas x y . Então, temos como resultado: V = 0 ,   0 ,   F = ( 0 ,   - 1 ) e y = 1 .

Passo 6

e) x 2 = - 4 ( y - 2 )

Nosso problema agora é parecido com o do item anterior, mas com translação, ou seja, teremos que fazer uma mudança de coordenadas. Para isso, vamos excrever as relações:

x ' = x

y ' = y - 2

Substituindo essas relações obtemos a seguinte expressão no sistema x ' y ' :

x ' 2 = - 4 y '

Agora, estamos no caso do item anterior, mas num sistema transladado. Vamos calcularos parâmetros normalmente e depois fazemos a mudança de coordenadas. Pelo jeitão da expressão estamos no primeiro caso, ou seja, V = ( 0 ,   0 ) e nosso eixo é o eixo y ' . Lembrando, como fizemos uma mudança de variável trabalharemos com o sistema x ' y ' . Podemos comparar então:

x ' 2 = - 4 y '   x ' 2 = 2 p y '

2 p = - 4

p = - 2

Da teoria sabemos, que F = 0 , p 2 , então nosso foco no sistema x ' y ' fica:

F = 0 ,   - 1

E nossa diretriz, também no sistema x ' y ' é y ' = p 2 . Como nosso foco está na parte negativa, nossoa diretriz estará na parte positiva, então:

y ' = 1

Já que achamos tudo o que precisávamos no sistema x ' y ' , agora sim, podemos passar para o sistema x y . Para isso vamos utilizar as relações:

x ' = x

y ' = y - 2

Substituindo, teremos:

V 0 ,   0

x ' = 0 x ' = x

x = 0

y ' = 0 y ' = y - 2

0 = y - 2 y = 2

V   n o   x y V 0 ,   2

F = 0 ,   - 1

x ' = 0 x ' = x x = 0

y ' = - 1 y ' = y - 2

- 1 = y - 2 y = 1

F   n o   x y F 0 ,   1

y ' = 1

y ' = y - 2 1 = y - 2

D i r e t r i z   n o   x y y = 3

Terminamos!! A solução desse item é: V 0 ,   2 , F 0 ,   1 e y = 3 .

Resposta

a )   V 0,0 ,   F 1 2 ,   0   e   x = - 1 2

b )   V 4,0 ,   F 7 4 , 0   e   x = 25 4  

c ) V ( 6 ,   - 5 ) , F 19 3 ,   - 5   e   x = 17 3

d ) V = 0 ,   0 ,   F = ( 0 ,   - 1 ) e y = 1

e )   V 0 ,   2 , F 0 ,   1 e y = 3

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UFF, Lista 4 – Exercícios Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, página 4, exercício 27

Achar a equação da parábola que passa pelos pontos ( 0 ,   0 ) , ( 1 ,   - 1 ) e 3 2 ,   - 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Nossa! Não sei nem por onde começar!!

Calma!! Tem um detalhe que ainda não falamos que vai te ajudar muito!!

O detalhe é o seguinte:

Passo 2

Então, para acharmos a expressão precisamos identificar à qual eixo a parábola é paralela. Para isso, vamos marcar os pontos no plano e ver qual o jeitão da parábola. Fazendo um esboço bem rápido, temos:

Pela figura nossa parábola possui diretriz paralela ao eixo x , então, nossa equação é:

y = a x 2 + b x + c

Passo 3

Sabendo disso precisamos substituir os pontos na equação. Substituindo, teremos:

Para 0 ,   0

y = a x 2 + b x + c 0 = 0 a + 0 b + c

c = 0

Para 1 ,   - 1

y = a x 2 + b x + c   - 1 = a + b + c

Como c = 0

a + b = - 1     ( 1 )

Para 3 2 ,   - 1 2

y = a x 2 + b x + c   - 1 2 = 9 4 a + 3 2 b + c

Como c = 0 ,

- 2 = 9 a + 6 b     ( 2 )

Com as expressões ( 1 ) e ( 2 ) conseguimos achar os valores de a e b . Resolvendo o sistema a seguir, temos:

a + b = - 1     9 a + 6 b = - 2

Isolando a na primeira equação, temos:

a = - 1 - b

Substituindo na segunda equação:

- 2 = 9 - 1 - b + 6 b 7 = - 3 b

b = - 7 3

Então,

a = - 1 + 7 3 = 4 3

a = 4 3

Chegamos nos valores:

a = 4 3

b = - 7 3

c = 0

Assim, sabendo que a expressão é y = a x 2 + b x + c , a expressão da nossa parábola fica:

y = 4 3 x 2 - 7 3 x

Resposta

y = 4 3 x 2 - 7 3 x

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 217-4.

Determinar a equação da parábola de foco em F ( 1 ,   2 ) , sendo x = 5 a equação da diretriz.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos um exerc´ício muito parecido com o anterior!! Mas, agora, não temos mais o vértice, mas o foco. Assim, com o foco e a diretriz devemos determinar a equação da parábola.

Bora começar, então?

Passo 2

Primeiro, devemos ver em qual dos três casos estamos!! Como nenhuma das coordenadas de F é zero, isso nos indica que estamos no caso 3 , ou seja, translação. Temos, também outra dica importante!! Como sabemos que a reta diretriz é x = 5 , então, nossa equação da parábola tem o seguinte formato:

( y - k ) 2 = 2 p x - h     ( 1 )

Sempre que tivermos dados como esses é bom fazer um esboço para clarear nosso problema!!

Passo 3

Esboçando, temos:

Da figura conseguimos tirar uma primeira informaçãosobre p . Devido a concavidade a parábola estar apontando para o lado negativo, isso indica que estamos no caso onde p < 0 . Assim,

p = - 4

Da figura também conseguimos ver que o vértice da parábola é o ponto médio entre x = 1 e x = 5 , logo a coordenada x do vértie vale 3 , e a coordenada y é a mesma do foco. Assim, temos:

V = ( 3 ,   2 )

Lá na teoria vimos que quando temos tranlação temos as seguintes relações:

x ' = x - h

y ' = y - k

Assim, se temos o vértice V = ( 3 ,   2 ) em x y e no sistema x ' y ' temos V = ( 0 ,   0 ) , temos as relações:

x ' = x - h 0 = 3 - h

h = 3

y ' = y - k 0 = 2 - k

k = 2

Pronto!! Temos tudo o que precisávamos para completar nossa expressão ( 1 ) . Assim, se p = - 4 ,   h = 3 e k = 2 :

y - 2 2 = 2 - 4 x - 3    

Chegamos na expressão da nossa parábola!!

Resposta

y - 2 2 = 2 - 4 x - 3    

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 216-3.

Determinar a equação da parábola de vértice V ( 3 ,   - 1 ) , sabendo que y - 1 = 0 é a equação de sua diretriz.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O problema nos dá o vértice e a equação da reta diretriz da parábola, e nós com esses dados devemos determinar a equação desta parábola. Mas, como farei isso, não vimos nada assim!!

Calma!! Vamos por partes!!

Passo 2

Analisando o vértice sabemos que não estamos nem no caso 1 e nem no caso 2, porque nesses dois casos o V = ( 0 ,   0 ) e temos que V = ( 3 ,   - 1 ) . Assim, estamos no caso de uma translação. Além disso, sabemos que a reta diretriz é y = 1 , isso nos indica que a nossa parábola é da seguinte maneira:

Assim, sabemos que a forma geral da nossa parábola, será:

( x - h ) 2 = 2 p ( y - k )

Passo 3

Para determinar nossa parábola, precisamos então determinar os valoresde h ,   k e p . Para isso, vamos fazer o inverso do que vínhamos fazendo, ou seja, sabemos que no sistema x ' y ' o vértice é V = ( 0,0 ) e sabemos que no x y vale V ( 3 ,   - 1 ) .

Assim, teremos:

x ' = x - h

y ' = y - k

x ' = 0

x = 3

Substituindo em ( 1 ) :

0 = 3 - h h = 3

y ' = 0

y = - 1

Substituindo em ( 2 ) :

0 = - 1 - k k = - 1

Portanto, chegamos na seguinte expressão:

( x - 3 ) 2 = 2 p ( y + 1 )

Mas, e p quanto vale?

Para achar p fica mais fácil fazermos um esboço da parábola.

Passo 4

Fazendo um esboço obtemos a seguinte figura:

Pela figura temos que:

p 2 = - 2

Que é a distância do nosso vértice em verde pra reta diretriz em azul!

Então p = - 4 !

Eu sei que p deve ser um valor negativo, pois a parábola está nos y < 0 !

Assim, já que achamos o valor de p , falta colocar na expressão:

( x - 3 ) 2 = 2 p ( y + 1 )

Substituindo:

( x - 3 ) 2 = 2 ( - 4 ) ( y + 1 )

( x - 3 ) 2 = - 8 ( y + 1 )

Prontinho, chegamos na nossa resposta!!

Resposta

( x - 3 ) 2 = - 8 ( y + 1 )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas