Teorema de Laplace
Teoria
Lembra de quando eu falei que a Regra de Sarrus só servia pra matrizes de ordem e ? Bom, agora nós vamos aprender a calcular o determinante de uma matriz ! E o que nos ajuda a fazer isso é o Teorema de Laplace.
Bom, antes de começarmos é importante conhecermos o conceito de cofator. Aí vai:
Cofator
Viu essa matriz aí em cima?
Pois é.
Agora olha pra essa:
Viu alguma semelhança?
Pensa aí.
(Dica: olha o nome que eu dei à matriz.)
Percebeu?
A matriz é a quase igual à matriz , só que sem a 2ª linha e a 3ª coluna. Olha a imagem aí:
É só deletar aonde tem as linhas vermelhas. Mas por que essa matriz é importante?
Na verdade ela não é tão importante, mas o determinante dela é.
Vamos fazer o seguinte: a partir de agora eu vou chamar de menor complementar (ou menor principal) de um elemento o determinante da matriz (que é a matriz sem a linha e sem a coluna ).
Ou seja, o determinante daquela matriz ali de cima é o menor complementar do (que é o da matriz ).
Resumindo: O determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que está um dado elemento é chamado de menor complementar desse elemento.
Entendeu?
Não confunda o elemento com a matriz ! (Uma letra maiúscula faz toda a diferença.)
O cofator (representarei por ) de um elemento pode ser definido assim:
Lembre que o é o menor complementar.
Esse serve apenas para que você possa descobrir o sinal do cofator.
Tipo, se o elemento está na 2ª linha e 3ª coluna, , então o sinal é negativo.
Se o elemento estivesse na 2ª linha e 4ª coluna, , então o sinal seria positivo.
Então podemos dizer que o cofator nada mais é que o determinante do menor complementar, só que com sinal. Mas pra que estou dizendo isso tudo?????
Teorema de Laplace
Bom, estou fazendo isso tudo porque o grande Laplace descobriu um teorema irado pra calcular determinantes!
Bom, sabe aqueles determinantes gigantes que não da pra calcular?? Então agora dá com o Laplace! Ou, também, quando o determinante possuir muitos zeros a boa é sempre usar a dica do Laplace.
Para aplicar o teorema, é só fazer o seguinte:
Escolha uma linha ou coluna (de preferência a que tiver mais zeros);
Pegue o elemento do menor complementar e multiplique pelo seu cofator;
Some tudo;
Se resultar de novo, num determinante gigante que você não sabe calcular, aplique o Laplace de novo :D.
Ehh... Bom se continuar grande não tem como escapar mesmo :/.
Vamos tentar com esse aqui:
Primeiro podemos ver que não daria pra calcular por nenhum outro método, já que é o determinante de uma matriz . NÃOOO, Sarrus não se aplica em matrizes . Muito cuidado, viu?
Observe que a coluna tem muitos zeros! Então é essa que vamos escolher.
Agora vamos multiplicar cada elemento pelo seu cofator e somar tudo. Vamos por partes:
Tipo, agora você percebeu porque tem que ter muitos zeros?
Nem vamos precisar calcular o e o , eles já tão multiplicados por zero! :P
Ficamos com
Calculando cada um:
Esse já deu zero, nem precisa calcular, porque a matriz tem duas linhas repetidas, e, portanto, é .
Agora o outro:
Se você fizer a Regra de Sarrus nesse determinante, vai ver que ele dá .
Aí:
Acabou que eu tinha um determinante e no fim das contas eu só precisei calcular um , que já tô acostumado, graças ao Teorema de Laplace.
Eu falei que esse teorema servia para calcular determinantes de matrizes mas na verdade ele serve para qualquer matriz quadrada!
No entanto, para matrizes de ordem menor que normalmente é mais fácil usar Sarrus, e para matrizes com ordem maior que fica meio grande pois você terá que aplicar o Teorema mais de uma vez, então é raro cair em provas. Então, na realidade você muito provavelmente só vai usá-lo com matrizes .
Dito isso, algumas pessoas preferem usar Laplace para calcular determinantes de ordem porque não se entendem muito bem com aquele monte de setas haha. Fique a vontade pra fazer do jeito que achar melhor, só não pode usar Sarrus em matriz , eu te imploro haha!
Mas esse teorema aí é só prática, então corre lá e faz os exercícios. ;)
Teorema de Laplace
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Calcule o cofator do elemento da matriz abaixo:
Passo 1
Bom, o elemento é o .
Para isso, vamos montar a matriz , tirando a 4ª linha e a 3ª coluna da matriz.
Ficamos com:
Passo 2
Agora falta podemos calcular o cofator, que é dado por:
Ou seja, o cofator é o menor complementar com sinal negativo, nesse caso.
Passo 3
Agora resta calcular o determinante:
Fazendo o cálculo usando Laplace de novo:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Calcule o determinante da matriz .
Passo 1
O primeiro passo é perceber que essa matriz possui um número considerável de zeros, então vale a pena usar o Teorema de Laplace.
Agora, qual fila tem mais zeros?
Se você olhar direito, a fileira com mais zeros é a 2ª coluna, e é nela que vamos aplicar o Teorema.
Passo 2
Vamos calcular!
Temos que multiplicar cada elemento pelo seu cofator.
Assim:
A matriz , retirando a segunda linha e a segunda coluna, fica assim:
Passo 3
O cofator fica:
Assim:
Passo 4
Agora é só calcular esse determinante !
Posso fazer a regra de Sarrus... mas nesse caso, o jeito mais prático é usar mais uma vez o Teorema de Laplace, já que a 3 coluna desse determinante é cheia de zeros.
Não precisamos dos cofatores dos elementos que estão com zeros, apenas do elemento da linha e da coluna.
O determinante dessa matriz é o cofator vezes o elemento, .
Isso nos dá:
Resposta
.
Exercício Resolvido #3
UFRJ-P4-2015.2.1
Calcule o determinante da matriz abaixo:
Passo 1
Como a matriz é temos que usar o Teorema de Laplace.
Podemos ver que a linha/coluna que possui mais zeros é a terceira linha, logo vamos utilizá-la!
Resposta
Letra
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