Teorema de Laplace

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Teoria

O Teorema de Laplace é um método muito útil para calcula o determinante de uma matriz de ordem . Principalmente quando temos matrizes grandes e não conseguimos usar a Regra de Sarrus!

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Como fazer o teorema de Laplace?

A gente vai aprender na prática como calcular o Teorema de Laplace! Então se liga na matriz abaixo:

Determinante: Exemplo
Determinante: Exemplo

Para calcular o determinante de , usando o teorema de Laplace, vamos seguir os seguintes passos:

  • 1º Passo: Selecionar uma linha ou coluna, com a maior quantidade possível de elementos igual a zero;
    • Para o nosso exemplo a melhor fila seria a quarta coluna, porque ela tem a maior quantidade de zeros e isso vai facilitar nossas contas

  • 2º Passo: Calcular o cofator de cada elemento da fila escolhida

  • 3º Passo: Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.
    • No nosso exemplo vai ficar assim:

Cofator - Como Calcular?

O cofator é uma matriz de ordem em que seus elementos são dados por:

Onde:

  • é o cofator do elemento ;
  • é o determinante da matriz resultante após a eliminação da linha e .

Eu sei que nada tá fazendo sentido, então vamos focar no exemplo que vai ficar mais claro!

Determinante de M: Linha escolhida
Determinante de M: Linha escolhida

Lá em cima eu falei que precisávamos escolher uma fila com o maior número de zeros possível, lembra?!

Então, vamos precisar calcular o cofator de cada elemento dessa linha! Vamos começar com o número que é o elemento , também chamado de menor complementar.

Para isso a gente vai eliminar a linha e a coluna onde esse elemento esta:

Eliminação das linhas e colunas
Eliminação das linhas e colunas

Com isso, vamos criar uma nova matriz e calcular a determinante dessa matriz:

Determinante do menor complementar
Determinante do menor complementar

Lembra da fórmula do cofator?

A gente vai substituir nossos valores nela:

E prontinho! Calculamos o cofator do primeiro elemento. Agora é só fazer o mesmo para os demais elementos!

No nosso exemplo, tanto o quanto o vão ser multiplicados por . Então a gente nem precisa se dar ao trabalho de calcular e é exatamente o motivo de escolhermos uma fila com muitos zeros!

Agora eu vou te dar o gabarito do elemento :

Calcular o determinante por Laplace

Agora é só substituir os cofatores no teorema de Laplace e pronto!

Lá em cima tínhamos:

Podemos eliminar os elementos multiplicados por zero:

Substituir os cofatores:

Prontinho!!

Teorema de Laplace - Exercício Resolvido

Pra terminarmos com chave de ouro, se liga nesse exercício sobre Teorema de Laplace que eu separei pra você 👇

Bora praticar com mais exercícios?!

Teorema de Laplace - Exercício Resolvido

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule o cofator do elemento a 43 da matriz abaixo:

1 2 4 3 4 5 7 9 7 8 10 15 0 1 1 1

Passo 1

Bom, o elemento a 43 é o 1 .

Para isso, vamos montar a matriz A 43 , tirando a 4ª linha e a 3ª coluna da matriz.

Ficamos com:

A 43 = 1 2 3 4 5 9 7 8 15

Passo 2

Agora falta podemos calcular o cofator, que é dado por:

Δ 43 = - 1 4 + 3   det ⁡ ( A 43 )

Δ 43 = - 1 7 1 2 3 4 5 9 7 8 15

Δ 43 = - 1 2 3 4 5 9 7 8 15

Ou seja, o cofator é o menor complementar com sinal negativo, nesse caso.

Passo 3

Agora resta calcular o determinante:

Δ 43 = - 1 2 3 4 5 9 7 8 15

Fazendo o cálculo usando Laplace de novo:

Δ 43 = - - 1 1 + 1 1 5 9 8 15 + - 1 1 + 2 2 4 9 7 15 + - 1 2 + 2 3 4 5 7 8

Δ 43 = - 1 ⋅ 5 ⋅ 15 - 9 ⋅ 8 + 2 ⋅ 4 ⋅ 15 - 9 ⋅ 7 - 3 ( 4 ⋅ 8 - 5 ⋅ 7 )

Δ 43 = - 3 - 6 + 9 = 0

Resposta

Δ 43 = 0

Exercício Resolvido #2

Calcule o determinante da matriz B .

B = 1 0 5 0 2 - 1 0 3 3 0 2 0 7 0 6 5

Passo 1

O primeiro passo é perceber que essa matriz possui um número considerável de zeros, então vale a pena usar o Teorema de Laplace.

Agora, qual fila tem mais zeros?

Se você olhar direito, a fileira com mais zeros é a 2ª coluna, e é nela que vamos aplicar o Teorema.

Passo 2

Vamos calcular!

Temos que multiplicar cada elemento pelo seu cofator.

Assim:

det ⁡ B = 0 × Δ 12 + - 1 × Δ 22 + 0 × Δ 32 + 0 × Δ 42

det ⁡ B = - Δ 22

A matriz B 22 , retirando a segunda linha e a segunda coluna, fica assim:

B 22 = 1 5 0 3 2 0 7 6 5

Passo 3

O cofator fica:

Δ 22 = - 1 2 + 2 1 5 0 3 2 0 7 6 5 = + 1 5 0 3 2 0 7 6 5

Assim:

det ⁡ B = - Δ 22 = - 1 5 0 3 2 0 7 6 5

Passo 4

Agora é só calcular esse determinante 3 × 3 !

Posso fazer a regra de Sarrus... mas nesse caso, o jeito mais prático é usar mais uma vez o Teorema de Laplace, já que a 3 ª coluna desse determinante é cheia de zeros.

Não precisamos dos cofatores dos elementos que estão com zeros, apenas do elemento da 3 ª linha e da 3 ª coluna.

Δ 33 = - 1 3 + 3 1 5 3 2 = + 1 5 3 2 = + 1 × 2 - 3 × 5 = - 13

O determinante dessa matriz 3 × 3 é o cofator vezes o elemento, 5 × - 13 = - 65 .

Isso nos dá:

det ⁡ B = - 1 5 0 3 2 0 7 6 5 = - - 65 = + 65

Resposta

det ⁡ B = 65 .

Exercício Resolvido #3

Calcule o determinante da matriz abaixo:

A = 1 1 0 1 1 3 2 2 0 0 - 3 0 2 4 2 5

a   - 21

b - 20

c   - 12

d   - 11

Passo 1

Como a matriz é 4 × 4 temos que usar o Teorema de Laplace.

Podemos ver que a linha/coluna que possui mais zeros é a terceira linha, logo vamos utilizá-la!

det ⁡ A = - 3 ⋅ ∆ 33 ⇒

det ⁡ A = - 3 ⋅ - 1 6 ⋅ 1 1 1 1 3 2 2 4 5 = - 3 ⋅ 1 1 1 1 3 2 2 4 5

1 1 1 1 3 2 2 4 5 = 15 + 4 + 4 - 6 - 5 - 8 = 23 - 19 = 4

det ⁡ A = - 3 ⋅ 4 = - 12

Resposta

Letra ( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule os cofatores de cada um dos termos da matriz A = 1 2 1 0 1 2 2 3 1
Calcular o cofator do elemento x da matrizA = ([[[[[[0,1]],[[0,3]]]]],[[[[[1,2]],[[1,1]]]]],[[[[[2,1]],[[0,0]]]]],[[[[[3,x]],[[2,1]]]]]])
Desenvolva pela primeira coluna det ⁡ A = ∑ i = 1 3 a i 1 A i 1 e depois calcule o determinante da matriz 3 4 0 1 1 0 2 0 2
Repetir o exercício 3 com a matriz([[2,1,3,0],[1,2,1,0],[0,0,2,1],[3,1,1,4]])
Sejam A , B e C matrizes de ordem 2 e seja X = A C 0 B De ordem 4. Provar que det ⁡ X = det ⁡ A det ⁡ B . Este resultado vale para A , B , C ∈ M n R .