Teorema de Laplace

Teoria Completa

Lembra de quando eu falei que a Regra de Sarrus só servia pra matrizes de ordem 2 e 3 ? Bom, agora nós vamos aprender a calcular o determinante de uma matriz 4 × 4 ! E o que nos ajuda a fazer isso é o Teorema de Laplace.

Bom, antes de começarmos é importante conhecermos o conceito de cofator. Aí vai:

Cofator

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17

Viu essa matriz aí em cima?

Pois é.

Agora olha pra essa:

A 23 = 1 2 4 9 10 12 13 14 17

Viu alguma semelhança?

Pensa aí.

(Dica: olha o nome que eu dei à matriz.)

Percebeu?

A matriz A 23 é a quase igual à matriz A , só que sem a 2ª linha e a 3ª coluna. Olha a imagem aí:

É só deletar aonde tem as linhas vermelhas. Mas por que essa matriz é importante?

Na verdade ela não é tão importante, mas o determinante dela é.

Vamos fazer o seguinte: a partir de agora eu vou chamar de menor complementar (ou menor principal) de um elemento a i j o determinante da matriz A i j (que é a matriz A sem a linha i e sem a coluna j ).

Ou seja, o determinante daquela matriz A 23 ali de cima é o menor complementar do 7 (que é o a 23 da matriz A ).

Resumindo: O determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que está um dado elemento a i j é chamado de menor complementar desse elemento.

Entendeu?

Não confunda o elemento a 23 com a matriz A 23 ! (Uma letra maiúscula faz toda a diferença.)

O cofator (representarei por Δ i j ) de um elemento a i j pode ser definido assim:

Δ i j = - 1 i + j det ⁡ A i j

Lembre que o det ⁡ A i j é o menor complementar.

Esse - 1 i + j serve apenas para que você possa descobrir o sinal do cofator.

Tipo, se o elemento está na 2ª linha e 3ª coluna, - 1 i + j = - 1 2 + 3 = - 1 5 = - 1 , então o sinal é negativo.

Se o elemento estivesse na 2ª linha e 4ª coluna, - 1 i + j = - 1 2 + 4 = - 1 6 = + 1 , então o sinal seria positivo.

Então podemos dizer que o cofator nada mais é que o determinante do menor complementar, só que com sinal. Mas pra que estou dizendo isso tudo?????

Teorema de Laplace

Bom, estou fazendo isso tudo porque o grande Laplace descobriu um teorema irado pra calcular determinantes!

Bom, sabe aqueles determinantes gigantes que não da pra calcular?? Então agora dá com o Laplace! Ou, também, quando o determinante possuir muitos zeros a boa é sempre usar a dica do Laplace.

Para aplicar o teorema, é só fazer o seguinte:

Escolha uma linha ou coluna (de preferência a que tiver mais zeros);

Pegue o elemento do menor complementar e multiplique pelo seu cofator;

Some tudo;

Se resultar de novo, num determinante gigante que você não sabe calcular, aplique o Laplace de novo :D.

Ehh... Bom se continuar grande não tem como escapar mesmo :/.

Vamos tentar com esse aqui:

det ⁡ M = - 2 1 0 1 1 1 1 0 1 1 4 0 1 1 1 2

Primeiro podemos ver que não daria pra calcular por nenhum outro método, já que é o determinante de uma matriz 4 × 4 . NÃOOO, Sarrus não se aplica em matrizes 4 × 4 . Muito cuidado, viu?

Observe que a 4 ª coluna tem muitos zeros! Então é essa que vamos escolher.

Agora vamos multiplicar cada elemento pelo seu cofator e somar tudo. Vamos por partes:

Tipo, agora você percebeu porque tem que ter muitos zeros?

Nem vamos precisar calcular o Δ 24 e o Δ 34 , eles já tão multiplicados por zero! :P

Ficamos com

det ⁡ M = Δ 14 + 2 Δ 44

Calculando cada um:

Δ 14 = - 1 1 + 4 1 1 1 1 1 4 1 1 1 = - 1 × 0 = 0

Esse já deu zero, nem precisa calcular, porque a matriz A 14 tem duas linhas repetidas, e, portanto, é L D .

Agora o outro:

Δ 44 = - 1 4 + 4 - 2 1 0 1 1 1 1 1 4 = + - 2 1 0 1 1 1 1 1 4

Se você fizer a Regra de Sarrus nesse determinante, vai ver que ele dá - 9 .

Aí:

det ⁡ M = 0 + 2 × - 9 = - 18

Acabou que eu tinha um determinante 4 × 4 e no fim das contas eu só precisei calcular um 3 × 3 , que já tô acostumado, graças ao Teorema de Laplace.

Eu falei que esse teorema servia para calcular determinantes de matrizes 4 × 4 mas na verdade ele serve para qualquer matriz quadrada!

No entanto, para matrizes de ordem menor que 4 normalmente é mais fácil usar Sarrus, e para matrizes com ordem maior que 4 fica meio grande pois você terá que aplicar o Teorema mais de uma vez, então é raro cair em provas. Então, na realidade você muito provavelmente só vai usá-lo com matrizes 4 × 4 .

Dito isso, algumas pessoas preferem usar Laplace para calcular determinantes de ordem 3 porque não se entendem muito bem com aquele monte de setas haha. Fique a vontade pra fazer do jeito que achar melhor, só não pode usar Sarrus em matriz 4 × 4 , eu te imploro haha!

Mas esse teorema aí é só prática, então corre lá e faz os exercícios. ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Calcule o cofator do elemento a 43 da matriz abaixo:

1 2 4 3 4 5 7 9 7 8 10 15 0 1 1 1

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Passo 1

Bom, o elemento a 43 é o 1 .

Para isso, vamos montar a matriz A 43 , tirando a 4ª linha e a 3ª coluna da matriz.

Ficamos com:

A 43 = 1 2 3 4 5 9 7 8 15

Passo 2

Agora falta podemos calcular o cofator, que é dado por:

Δ 43 = - 1 4 + 3   det ⁡ ( A 43 )

Δ 43 = - 1 7 1 2 3 4 5 9 7 8 15

Δ 43 = - 1 2 3 4 5 9 7 8 15

Ou seja, o cofator é o menor complementar com sinal negativo, nesse caso.

Passo 3

Agora resta calcular o determinante:

Δ 43 = - 1 2 3 4 5 9 7 8 15

Fazendo o cálculo usando Laplace de novo:

Δ 43 = - - 1 1 + 1 1 5 9 8 15 + - 1 1 + 2 2 4 9 7 15 + - 1 2 + 2 3 4 5 7 8

Δ 43 = - 1 ⋅ 5 ⋅ 15 - 9 ⋅ 8 + 2 ⋅ 4 ⋅ 15 - 9 ⋅ 7 - 3 ( 4 ⋅ 8 - 5 ⋅ 7 )

Δ 43 = - 3 - 6 + 9 = 0

Resposta

Δ 43 = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule o determinante da matriz B .

B = 1 0 5 0 2 - 1 0 3 3 0 2 0 7 0 6 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O primeiro passo é perceber que essa matriz possui um número considerável de zeros, então vale a pena usar o Teorema de Laplace.

Agora, qual fila tem mais zeros?

Se você olhar direito, a fileira com mais zeros é a 2ª coluna, e é nela que vamos aplicar o Teorema.

Passo 2

Vamos calcular!

Temos que multiplicar cada elemento pelo seu cofator.

Assim:

det ⁡ B = 0 × Δ 12 + - 1 × Δ 22 + 0 × Δ 32 + 0 × Δ 42

det ⁡ B = - Δ 22

A matriz B 22 , retirando a segunda linha e a segunda coluna, fica assim:

B 22 = 1 5 0 3 2 0 7 6 5

Passo 3

O cofator fica:

Δ 22 = - 1 2 + 2 1 5 0 3 2 0 7 6 5 = + 1 5 0 3 2 0 7 6 5

Assim:

det ⁡ B = - Δ 22 = - 1 5 0 3 2 0 7 6 5

Passo 4

Agora é só calcular esse determinante 3 × 3 !

Posso fazer a regra de Sarrus... mas nesse caso, o jeito mais prático é usar mais uma vez o Teorema de Laplace, já que a 3 ª coluna desse determinante é cheia de zeros.

Não precisamos dos cofatores dos elementos que estão com zeros, apenas do elemento da 3 ª linha e da 3 ª coluna.

Δ 33 = - 1 3 + 3 1 5 3 2 = + 1 5 3 2 = + 1 × 2 - 3 × 5 = - 13

O determinante dessa matriz 3 × 3 é o cofator vezes o elemento, 5 × - 13 = - 65 .

Isso nos dá:

det ⁡ B = - 1 5 0 3 2 0 7 6 5 = - - 65 = + 65

Resposta

det ⁡ B = 65 .

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P4-2015.2.1

Calcule o determinante da matriz abaixo:

A = 1 1 0 1 1 3 2 2 0 0 - 3 0 2 4 2 5

a   - 21

b - 20

c   - 12

d   - 11

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como a matriz é 4 × 4 temos que usar o Teorema de Laplace.

Podemos ver que a linha/coluna que possui mais zeros é a terceira linha, logo vamos utilizá-la!

det ⁡ A = - 3 ⋅ ∆ 33 ⇒

det ⁡ A = - 3 ⋅ - 1 6 ⋅ 1 1 1 1 3 2 2 4 5 = - 3 ⋅ 1 1 1 1 3 2 2 4 5

1 1 1 1 3 2 2 4 5 = 15 + 4 + 4 - 6 - 5 - 8 = 23 - 19 = 4

det ⁡ A = - 3 ⋅ 4 = - 12

Resposta

Letra ( c )

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