Determinantes e Escalonamento

Teoria Completa

Bom, normalmente você ficaria desesperado se tivesse que calcular o determinante de uma matriz 7 × 7 né? Bom, então vou te ensinar uma coisa que pode vir a ser útil ;)

Sempre que a matriz for triangular (tanto superior quanto inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Isso naturalmente vale para uma matriz diagonal também ;)

Um exemplo:

1 - 1 4 5 0 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 2

Essa matriz acima é triangular, então o determinante acima é: 1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4 .

Seria ótimo se pudéssemos sempre escalonar uma matriz para calcular os determinantes, não? Porque é bem fácil calculá-los em matrizes que já estão escalonadas. Lembre-se que para matrizes quadradas, uma matriz escalonada vira uma matriz triangular superior!

A boa notícia é que você pode fazer isso!

Só deve tomar cuidado com três coisas:

  • Quando você troca linhas ou troca colunas de lugar, o sinal do determinante muda;
  • Quando você multiplica uma linha por um escalar, o determinante também é multiplicado por esse escalar;
  • Se você troca uma linha/coluna por um múltiplo de uma outra somado a essa linha/coluna, o determinante não se altera.

Esquematizando, seja a matriz A a matriz antes de realizar essas operações, e a matriz A ' a matriz depois de realizada essas operações:

L i ↔ L j ,   j ≠ i ⇒ det ⁡ A ' = - d e t ⁡ ( A )

L i ← k ⋅ L i ⇒ det ⁡ A ' = k ⋅ det ⁡ A

L i ← L i + k ⋅ L j ,   i ≠ j ⇒ det ⁡ A ' = det ⁡ A           o p e r a ç ã o   e l e m e n t a r

OBS: Cuidado com esta última operação!! Se você fizer L i ← - L i + k ⋅ L j o determinante muda de sinal!! É como se tivesse multiplicado a linha por - 1 e depois realizado a operação elementar.

Vamos usar essas propriedades para calcular o seguinte determinante:

det ⁡ A = 2 0 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 0 0 4 2

Para calcular este determinante, vamos escalonar a matriz, assim ela terá a forma de uma matriz triangular, a qual é muito fácil de calcular o determinante :D.

2 0 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 0 0 4 2 → L 2 ← L 2 - 1 2 L 1 L 3 ← L 3 - L 2   2 0 1 1 0 1 1 2 1 2 0 - 1 1 1 0 0 4 2  

2 0 1 1 0 1 1 2 1 2 0 - 1 1 1 0 0 4 2 → L 3 ← L 3 + L 2   2 0 1 1 0 1 1 2 1 2 0 0 3 2 3 2 0 0 4 2  

2 0 1 1 0 1 1 2 1 2 0 0 3 2 3 2 0 0 4 2 → L 4 ← L 4 - 4 ⋅ 2 3 L 3   2 0 1 1 0 1 1 2 1 2 0 0 3 2 3 2 0 0 0 - 2  

Repare que o determinante não alterou em nenhum dos casos pois usamos a operação elementar, L i ← L i + k ⋅ L j . Agora é só multiplicar os elementos da diagonal.

det ⁡ A = 2 ⋅ 1 ⋅ 3 2 ⋅ - 2 = - 6

det ⁡ A = - 6

Esse é o determinante da matriz.

Maneirin, não?

Eu recomendo usar sempre a operação elementar já que esta não altera o determinante. Em alguns casos, no entanto, usar apenas ela pode criar várias frações que podem complicar muito sua vida. Então quando usar as outras operações ou não fica a seu critério, só tome cuidado com as alterações no determinante ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 188 – Prob 6.2

Aplicamos em uma matriz A 5 × 5 as seguintes operações elementares:

i   trocamos L 5 com L 4 ;

i i   L 4 ← L 4 + 3 L 2

i i i multiplicamos L 4 por - 4

Obtemos a matriz B = 6 1 2 3 1 0 2 5 - 1 1 0 0 - 1 3 - 5 0 0 0 3 2 0 0 0 0 1 . Calcule det ⁡ A .

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Passo 1

Bom, primeiro vamos calcular o determinante de B . Como é uma matriz triangular, temos:

det ⁡ B = 6 1 2 3 1 0 2 5 - 1 1 0 0 - 1 3 - 5 0 0 0 3 2 0 0 0 0 1 = 6 ∙ 2 ∙ - 1 ∙ 3 ∙ 1 = - 36

Passo 2

Agora vamos ver como as operações elementares alteraram o determinante de A :

i trocando as linhas de lugar nós trocamos o sinal do determinante;

i i operação elementar, determinante inalterado;

i i i multiplicando uma linha por - 4 , também multiplicamos o determinante por - 4 ;

Aplicando essas alterações em det ⁡ A chegamos a det ⁡ B :

det ⁡ A ∙ - 1 ⏟ i ∙ 1 ⏟ i i ∙ - 4 ⏟ i i i = det ⁡ B

4 ∙ det ⁡ A = det ⁡ B

det ⁡ A = - 36 4 = - 9

Resposta

det ⁡ A = - 9

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Diga qual das matrizes abaixo não tem determinante nulo:

a   A = 1 - 4 5 2 0 0 3 2 0 0 2 1 0 0 0 6

b   B = 2 6 - 3 - 9

c   C = 1 4 9 15

d   D = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

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Passo 1

A matriz da letra ( a ) é triangular, então seu determinante é o produto dos elementos que estão na diagonal principal:

det ⁡ A = 1 × 0 × 2 × 6 = 0

Passo 2

Na matriz B a 2 ª coluna é igual à 1 ª coluna multiplicada por 3 .

Então as colunas são LD, logo seu determinante é zero. Mas você também pode calcular:

2 6 - 3 - 9 = 2 × - 9 - 6 × - 3 = - 18 + 18 = 0

Passo 3

Na C , nem as colunas nem as linhas da matriz são múltiplas uma da outra, então a matriz é L I , e seu determinante é diferente de zero. Mas, se quiser, podemos também calcular:

1 4 9 15 = 1 × 15 - 9 × 4 = 15 - 36 = - 21 ≠ 0

Passo 4

Aí essa D já não é tão simples.

Vamos escalonar.

Fazendo L 2 ← - L 2 + 4 L 1 e também L 3 ← - L 3 + 7 L 1 :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ~ 1 2 3 0 3 6 0 6 12

Olha só, nem precisamos escalonar tudo!

Sabe por quê?

O determinante não muda quando fazemos combinações lineares entre as linhas.

E essa última matriz é L D , pois a 3 ª linha é o dobro da 2 ª ! Então a matriz original também é L D !

Por isso seu determinante é 0 também!

Logo, só a matriz C não tem determinante nulo.

Resposta

Apenas a matriz C

Exercício Resolvido #3

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 188 – Prob 6.8

Calcule:

a det ⁡ 0 0 0 d 0 0 c e 0 b f g a h i j

b   det ⁡ M ,   M = 0 ⋯ 0 a 1 0 ⋯ a 2 x ⋮ ⋰ ⋮ ⋮ a n ⋯ x x

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Passo 1

a Basta fazermos as trocas L 1 ↔ L 4 e L 2 ↔ L 3 . Chegaremos na seguinte matriz:

a h i j 0 b f g 0 0 c e 0 0 0 d

Como trocamos duas linhas de lugar duas vezes, multiplicamos o determinante por - 1 duas vezes. Logo, ele se permaneceu inalterado. E agora temos uma matriz triangular superior, cujo determinante sabemos calcular:

det ⁡ 0 0 0 d 0 0 c e 0 b f g a h i j = det ⁡ a h i j 0 b f g 0 0 c e 0 0 0 d = a b c d

Passo 2

b O procedimento é o mesmo da letra a . Basta trocarmos as linhas até termos uma matriz triangular superior. Só que dessa vez não sabemos quantas linhas temos então não podemos saber qual será o sinal final do determinante.

Repare, no entanto, que isso não é um problema!! O que está sendo pedido é o módulo do determinante. Como trocar linhas apenas troca o sinal, e este não interessa pra gente, é só multiplicarmos os valores da diagonal secundária da matriz:

det ⁡ M = a 1 ∙ a 2 ∙ … ∙ a n = ∏ i = 1 n a i

Resposta

a det ⁡ 0 0 0 d 0 0 c e 0 b f g a h i j = a b c d

b   det ⁡ M = a 1 ∙ a 2 ∙ … ∙ a n = ∏ i = 1 n a i

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Calcule, em função de a ,   b ,   c ,   d ∈ R , o determinante da matriz M abaixo,

M = a a a a a b b b a b c c a b c d

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Passo 1

A matriz é de ordem 4 , então vamos escalonar. Para zerar a 1ª coluna, é só fazer

L 2 ← L 2 - L 1

L 3 ← L 3 - L 1

L 4 ← L 4 - L 1

Aí fica:

det ⁡ M = a a a a 0 b - a b - a b - a 0 b - a c - a c - a 0 b - a c - a d - a

Passo 2

Agora vamos tentar zerar a segunda coluna abaixo de b - a (terceira e quarta linhas):

L 3 ← L 3 - L 2

L 4 ← L 4 - L 2

Então:

det ⁡ M = a a a a 0 b - a b - a b - a 0 0 c - b c - b 0 0 c - b d - b

Passo 3

Agora é só zerar a terceira coluna na última linha, fazendo L 4 ← L 4 - L 3 :

det ⁡ M = a a a a 0 b - a b - a b - a 0 0 c - b c - b 0 0 0 d - c

Passo 4

Agora a matriz é triangular, então precisamos só multiplicar os elementos da diagonal principal:

det ⁡ M = a b - a c - b ( d - c )

Resposta

det ⁡ M = a b - a c - b ( d - c ) .

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