Regra de Sarrus

Resumo Completo

Introdução

Bom, vamos aprender a calcular determinantes, mas antes de tudo uma pergunta!

Responde aí, rapidão, o que é um determinante?

Hein?

Muito provavelmente você já viu isso no Ensino Médio, mas não sabe nem responder essa pergunta. No máximo você deve saber calcular alguns determinantes, mas se te perguntarem o que é, aí complica.

Primeira coisa: determinante é uma função de M n × n em R .

Ta, mas o que isso significa? Haha. Tipo, você pega qualquer elemento do espaço das matrizes quadradas e ele se transforma em um número real pra você!

Notação: Iremos sempre utilizar as “duas barras” |   | , no lugar dos colchetes [   ] , para indicar que estamos falando de determinantes. Por exemplo, o determinante da matriz:

A = 1 2 3 4

É denotado por:

det A = 1 2 3 4

Uma coisa muito importante que você PRECISA saber sobre determinante é o seguinte. Se a matriz tiver linhas ou colunas L D , seu determinante será sempre zero!! Absolutamente sempre!!!

Então mesmo sem saber calcular determinante ainda você já saberia o determinante dessa matriz:

1 1 0 2 2 2 5 2 2 6 5 3 1 2 3 3 4 6 5 3 1 4 4 8 4 8 5 9 5 5 2 7 4 4 6 6 6 4 8 6 8 4 7 7 7 9 5 2 7

As duas primeiras colunas são repetidas, são L D , então o determinante é zero ;)

Por enquanto isso já é suficiente, depois vamos ver mais algumas propriedades do determinante. Mas por favor, nunca se esqueça dessa!

Regra de Sarrus

Vamos começar a por a mão na massa. Para calcularmos determinantes de matrizes 2 × 2 e 3 × 3 , nós usamos a Regra de Sarrus. Para determinantes 4 × 4 em diante teremos que usar outras técnicas.

Para matrizes 2 × 2 é bem simples!

Aí a fórmula é a seguinte:

det a b c d = a b c d = a d - b c

Por exemplo, vamos calcular o determinante da seguinte matriz:

M = 1 3 2 4

O determinante vai ser:

det ( M ) = 1 4 - 3 2 = 4 - 6 = - 2

Então é isso! O determinante de M é - 2 .

E agora, como calcula o determinante de ordem 3 ?

É assim:

a b c d e f g h i = a e i + b f g + c d h - c e g - f h a - i d b

Fácil de decorar, né não? ¬¬’

Não. Com certeza não!

Calma que tem uma dica pra isso aí! Pra você aprender a dica, vamos calcular o determinante dessa matriz aqui:

A = 1 2 1 2 3 1 - 1 - 4 1

Primeiro você repete as primeiras duas colunas ao lado do determinante

1 2 1 2 3 1 - 1 - 4 1       1     2       2     3 - 1 - 4

Depois é só traçar linhas na diagonal principal e nas duas diagonais seguintes, indicando um sinal de + em cima.

Isso nos indicará que devemos multiplicar os números de cada diagonal e atribuir a eles o sinal de mais ( + ). No caso dessa matriz:

+ 1 3 1 + 2 1 - 1 + 1 2 - 4

= + 3 + - 2 + - 8

= - 7

Agora é só fazer a mesma coisa com a diagonal secundária e as duas seguintes, atribuindo a elas o sinal de menos ( - ):

Repetindo:

- 1 3 - 1 - 1 1 - 4 - ( 2 2 1 )

= - - 3 - - 4 - 4

= + 3

Aí pra calcular o determinante é só somar tudo!

det A = - 7 + 3 = - 4

Entendeu?

Caramba! Mas eu vou ter que sempre repetir duas colunas e fazer esse processo aí?? Bom, no começo é bom fazer assim pra ir pegando prática, mas depois você faz no automático!

Eu penso como se a diagonal saísse por um lado desse a volta e entrasse por outro haha. Para os positivos ficaria assim oh:

E para os negativos:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 188 – Prob 6.1

Calcule o determinante da matriz abaixo:

2 5 4 3 1 2 5 4 6

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Usando a Regra de Sarrus para ordem 3 :

det 2 5 4 3 1 2 5 4 6 = 2 5 4 3 1 2 5 4 6

Vou botar com as setinhas pra ajudar porque é o primeiro exercício mas não vai se acostumando não em haha:

Logo,

2 5 4 3 1 2 5 4 6 = 110 - 126 = - 16

Resposta

d e t = - 16

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule o determinante:

cos θ - sen θ sen θ cos θ

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos usar a regra de Sarrus para ordem 2 .

cos θ - sen θ sen θ cos θ = cos θ × cos θ - ( sen θ × - sen θ ) = cos 2 θ + sen 2 θ

Passo 2

Agora é só lembrar que a Relação Fundamental da Trigonometria nos diz que:

cos 2 θ + sen 2 θ = 1

Assim, o determinante pedido dá 1 , independente do valor de θ .

Resposta

d e t = 1

Exercício Resolvido #3

Enunciado

UFRJ-P4-2013.2

Seja C = A B , onde

A = 1 2 3 ,   B = - 2 4 7

O determinante da matriz C é igual a:

a   Não é possível calcular o determinante de C

( b ) 2

( c ) 0

( d ) - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Pô, bora calcular quem é C !

C = A B = 1 2 3 - 2 4 7 = - 2 4 7 - 4 8 14 - 6 12 21

Só que a 2 ª linha de C é o dobro da primeira, e a 3 ª é o triplo!

Como suas linhas são L D , det C = 0 .

Resposta

Letra ( c )

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