Base

Teoria Completa

Vamos começar com a pergunta de 1 milhão de dólares! O que é uma base???

Bom, a base de um espaço vetorial V é um conjunto ordenado de vetores β = v 1 , v 2 , … , v n que geram V e que são L I .

Bom, tem 3 coisas em negrito aí, então vamos desmembrar essa definição:

  • A base tem que gerar V . Ou seja, se V tem como base v 1 , v 2 , v 3 , então v 1 , v 2 , v 3 = V .
  • A base tem que ser L I . Por exemplo, os vetores 1,0 , 0 , 0,1 , 0 e 1,1 , 0 geram o plano x y no R 3 ! Mas o conjunto β = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 1,1 , 0 não é L I , então não podemos dizer que β é uma base do plano x y , sacou? Se pegássemos agora o conjunto 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , teríamos uma base do plano x y , já que esse conjunto gera o plano e é L I .
  • Por fim, as bases são conjuntos ordenados. Usando o exemplo aqui de cima ainda, se tivermos β = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 e γ = 0,1 , 0 , 1,0 , 0 , nós temos 2 bases diferentes! Apesar de conterem os mesmos dois vetores, eles estão em ordens diferentes, então formam bases diferentes.

O b s : Repare que podemos ter infinitas bases para um determinado espaço! Por exemplo, fala uma base aí para o R 2 ! Pode ser 0,1 , 1,0 , 2,3 , 4,5 , 47,3 , π , e 23 , e por aí vai!

Bases Canônicas

Vamos ver um exemplo importante agora!

Uma possível base para o R 3 é:

1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

Chamamos essa base perfeitinha ai, cujos vetores são os do próprio eixo de base canônica.

Mas não só o R n que tem uma base dessas, um conjunto de matrizes ou de polinômios também possuem bases! Se liga:

Uma base para M 2 × 2 é:

1 0 0 0 ,   0 1 0 0 ,   0 0 1 0 ,   0 0 0 1

Essa também é a base canônica para as matrizes 2 × 2 .

Uma outra base para as matrizes 2 × 2 é:

1 0 0 0 ,   0 1 0 0 ,   0 0 1 1 ,   0 0 0 3

Mas essa não é a canônica...

Já para P 2 a canônica é:

1 , x , x 2

E uma outra possível base não canônica é:

{ 1 , x , x 2 + x }

Tranquilinho não? O único chato, é que se pedirem para verificar se um conjunto é base você tem q verificar se ele é L I e fazer toda aquela contarada...

Encontrando a Base de um Espaço Vetorial

Beleza, mas tem alguma forma geral de encontrar uma base? Tem alguma fórmula??

Claro que tem meu amigo! E se não tivesse, a gente inventava haha. Vamos ver uns exemplos porque é assim que se aprende haha.

E x 1 : Qual dos vetores abaixo, juntamente com os vetores ( 2,1 , 1 ) e ( 1,2 , 1 ) , não forma uma base para o R 3 ?

a   ( 1,1 , 2 )

b   ( 2 , - 2,0 )

c   ( 0,2 , 2 )

d   ( 1,0 , - 1 )

Bom, sabemos que como o R 3 tem dimensão 3 , precisamos de 3 vetores L I para escrevermos uma base desse espaço vetorial.

Mas, como o problema pergunta qual dos vetores não forma uma base, teremos que achar aquele que forma um conjunto L D com os outros dois dados!

Então, temos que verificar um por um para descobrir qual forma um conjunto L D :

a   2 1 1 1 2 1 1 1 2 → e s c a l o n a n d o 2 1 1 0 3 2   1 2 0 0 4 3

Conjunto L I , não serve pra gente. Próxima letra:

b   2 1 1 1 2 1 2 - 2 0 → e s c a l o n a n d o 2 1 1 0 3 2 1 2 0 0 0

Opa, encontramos nossa resposta. O vetor ( 2 , - 2,0 ) pode ser escrito como combinação linear de ( 2,1 , 1 ) e ( 1,2 , 1 ) , logo, eles formam um conjunto L D e, portanto, não podem ser uma base de R 3 .

Show? Próximo exemplo.

E x 2 : Encontre uma base para o espaço gerado pelo conjunto { 1,2 , 2,1 , 1,0 , 2,0 , 0,2 , 0,1 } , e determine sua dimensão.

Ta, vamos entender o problema. Temos 3 vetores do R 4 , gerando um determinado subespaço de R 4 . Esse subespaço tem dimensão de, no máximo, 3 .

O que temos que fazer é descobrir se esse conjunto de 3 vetores é uma base ou não. Ou, em outras palavras, se eles são L I ou não! Então é só montar uma matriz com eles, escalonar e partir pro abraço.

1 2 2 1 1 0 2 0 0 2 0 1 → e s c a l o n a n d o 1 2 2 1 0 - 2 0 - 1 0 0 0 0

Opa, a última linha da matriz foi zerada, então o terceiro vetor pode ser escrito como combinação dos dois primeiros! Logo, uma base para o espaço gerado pelo conjunto seria:

{ 1,2 , 2,1 , 1,0 , 2,0 }

Como a base tem 2 elementos, o espaço gerado tem dimensão 2 , ou seja, é um plano.

Último exemplo!

E x 3 : Calcule a base do espaço W definido aqui em baixo:

W = v ∈ R 3 x = 3 y - z

Bom, temos três coordenadas e uma equação! Então sabemos que esse espaço aí é um plano! Isso ajuda a gente porque já sabemos que a base vai ter 2 elementos haha. O nosso vetor geral é:

3 y - z , y , z = y 3,1 , 0 + z - 1,0 , 1

Fim de papo, uma base possível é 3,1 , 0 , - 1,0 , 1 !

Agora bora exercitar rapaziada!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P1-2013.2

Seja H o subespaço definido por:

H =   < 2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4 ,   0 ,   2 ,   - 4 >

Qual dos conjuntos abaixo é base de H ?

a   { 2 , - 1 ,   - 1 }

b   { 2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4 ,   0 ,   2 ,   - 4 }

c   { 2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 }

d   2 , - 1 ,   - 1 ,   2 ,   - 2 ,   1 ,   - 4 ,   1 ,   4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O subespaço H é formado por vetores do R 3 .

Como H é um subconjunto do R 3 , então sua base deve ter no máximo 3 vetores.

Já descartamos a letra ( b ) !

Passo 2

Repare que os dois primeiros vetores de H , ( 2 , - 1 , - 1 ) e ( 2 , - 2,1 ) são claramente L I , já que não são múltiplos um do outro.Então veja bem, achamos um conjunto de dimensão 2 que tá contido em H , então esse H tem que ter dimensão no mínimo 2 , certo?

Assim eu descarto a letra ( a ) , que tem dimensão 1 .

Passo 3

Agora é o seguinte:

  • Se o conjunto da letra ( d ) for L I , ele já é uma base, e a resposta é ( d )
  • Se o conjunto da letra ( d ) for L D , ele não é uma base, então a resposta é ( c ) , pois já sabemos que ( c ) é L I

Pra descobrirmos se os vetores de ( d ) são L I , basta jogarmos eles numa matriz e escalonarmos:

2 - 1 - 1 2 - 2 1 - 4 1 4 → L 2 ← L 2 - L 1 L 3 ← L 3 + 2 L 1 2 - 1 - 1 0 - 1 2 0 - 1 2 → L 3 ← L 3 - L 2 2 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 0

Opa! Acabamos de descobrir que os vetores de ( d ) são L D ! Então, a resposta só pode ser a letra ( c ) !

Resposta

Letra ( c )

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 96 – Ex. 61

Mostrar que o conjunto

2 3 - 1 0 ,   1 - 1 0 - 2 ,   - 3 - 2 1 - 1 ,   3 - 7 - 2 5

É uma base de M 2 × 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como as matrizes já são do tipo 2 × 2 , basta só verificar que o conjunto é L I , pois, consequentemente, espaço gerado desse conjunto dará todas as matrizes 2 × 2 .

a 2 3 - 1 0 + b 1 - 1 0 - 2 + c - 3 - 2 1 - 1 + d 3 - 7 - 2 5 = 0 ⇒

2 a + b - 3 c + 3 d = 0 3 a - b - 2 c - 7 d = 0 - a + c - 2 d = 0 - 2 b - c + 5 d = 0

Bom esse sistema ficou meio grande, né? Acho que a melhor forma de resolvê-lo é por escalonamento. Para isso vamos passar para a forma matricial:

2 1 - 3 3 3 - 1 - 2 - 7 - 1 0 1 - 2 0 - 2 - 1 5 ⋅ a b c d = 0

Passo 2

Se você fizer o escalonamento da matriz dos coeficientes desse sistema, veremos que dá:

2 1 - 3 3 0 - 5 2 5 2 - 23 2 0 0 - 3 71 5 0 0 0 - 14 5 ⋅ a b c d = 0 ⇒

2 a + b - 3 c + 3 d = 0 ⇒ 2 a = 0 ⇒ a = 0 - 5 2 b + 5 2 c - 23 2 d = 0 ⇒ - 5 2 b = 0 ⇒ b = 0 - 3 c + 71 5 d = 0 ⇒ - 3 c = 0 ⇒ c = 0 - 14 5 d = 0 ⇒ d = 0