Espaços Vetoriais

Teoria Completa

Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é definido como segue:

Entendeu alguma coisa?

Não, né? kkkkkk.

Calma calma calma, essa é a definição hiper mega formal que encontramos em livro, mas sem desespero, nós somos o Responde Aí, a maior plataforma de exatas do Brasil, e a nossa missão é ensinar através de uma didática incrível, então não, nós não vamos ensinar da forma massante que você vê nos livros, vamos por outro caminho. Vem comigo?

Conjuntos e suas operações

Bom, antes de entrarmos de fato no conceito de espaço vetorial é importante a gente entender o conceito de conjuntos de vetores, beleza?

Vamos supor duas caixas, sendo que dentro de cada uma delas tem um conjunto de vetores com suas características:

CAIXA VERMELHA:

CAIXA VERDE:

Beleza, então tato dentro da caixa vermelha quanto dentro da caixa verde nós temos vetores pertencentes ao $R^3$ que são do tipo: $(x, y, 1)$.

Se os vetores são definidos na mesma forma, então eles são o mesmo conjunto? Não necessariamente, porque além da definição do vetor, um conjunto de vetores também é definido de acordo com as operações dentro deles, de acordo com a forma com que as operações entre os vetores do conjutno são definidas.

Então, vamos ver o que mais as caixas podem nos dizer:

CAIXA VERMELHA:

CAIXA VERDE:

Quando a gente olha para essa definição de soma e substração e multiplicação por escalar dentro da caixa verde a gente fica tipo: QUEEE?? kkk, porque não é a soma e multiplicação que estamos acostumados e está tudo bem, não tem problema. O que estamos querendo passar aqui é que cada conjunto de vetores tem uma forma de definir as operções dentro dele e isso também caracteriza o conjunto, beleza?

Espaço Vetorial

Agora que entendemos os conjunto de vetores podemos seguir em frente.

O espaço vetorial é tipo um acréscimo que aquelas caixinhas ganham quando cumprem alguns requisitos. Ou seja: todo espaço vetorial é uma caixinha, mas nem toda caixinha é um espaço vetorial :P

Quando uma caixinha for um espaço vetorial, chamaremos ela de $V$, simbolizando um espaço vetorial, ok?

Mas quais requisitos são esses que a caixinha precisa ter para ganhar a promoção de espaço vetorial?

Requisitos do Espaço Vetorial

PRIMEIRO REQUISITO: O resultado de qualquer operação que fazemos dentro da caixinha tem que ser um vetor que também pertença a caixinha. (Você acredita que era isso que aquela definição formal do início queria dizer? hahahahaha)

DEMAIS REQUISITOS: Além do primeiro requisito, para ser espaço vetorial, o conjunto obedecer os $8$ axiomas que seguem:

1. A soma é comutativa

2. A soma é associativa

3. Elemento neutro da soma

Em outras palavras, existe um vetor nesse espaço vetorial, denotado por $0$, cujo resultado da soma com qualquer outro vetor $v$ do espaço é esse outro vetor .

Ele é comumente denominado como $0$, mas é de extrema importância que você tenha em mente que ele não precisa ser o vetor $(0,0,0)$, se estivéssemos no $R^3$, por exemplo. O que tem que acontecer é que ele não deve influenciar na soma.

4. Inverso aditivo

Traduzindo, para todo vetor $v$ em $V$, existe um vetor $w$ também em $V$, tal que $v+w=0$. No universo de operações que conhecemos o inverso aditivo de $1$ é o $-1$, por exemplo.

5. Associativo

Trata-se do ditado “A ordem dos tratores não altera o viaduto” Não importa se multiplicarmos primeiramente o vetor pelo escalar $β$ para depois multiplicar pelo $α$ ou os escalares primeiro para depois multiplicar o resultado pelo vetor, o resultado será o mesmo.

6. Elemento neutro da multiplicação

O elemento neutro é o escalar $1$, cujo resultado da multiplicação dele com qualquer outro vetor $v$ do espaço é esse mesmo vetor $v$.

7. Distributividade 1

8. Distributividade 2

UFAA!! Acabaram os axiomas