Espaços Vetoriais

Resumo Completo

Introdução

Chegamos oficialmente no assunto mais abstrato do curso, então eu peço que prestem bastante atenção beleza? Pode confiar que no final vocês vão perceber que esse bixo de sete cabeças na real é só um filhotinho mal compreendido.

Sempre que ficarem inseguros com espaço vetorial pensem nesse filhotinho que vai tudo ficar bem! Agora vamos para o que interessa.

Espaço Vetorial

Vou te mandar a real, espaço vetorial tem uma definição bonitinha mas o que você tem que ter sempre em mente é o seguinte:

A grosso modo, um Espaço Vetorial é um conjunto não vazio onde se pode fazer contas. Mais especificamente as operações de soma vetorial e de multiplicação por escalar.

E não só isso, essas operações têm que resultar em um vetor que também pertença ao conjunto em questão.

Formalizando:

Notação: Denotamos um espaço vetorial V , munido com suas operações, como:

( V , + , )

Uma observação importante é que essas operações não precisam ser as usuais com que estamos acostumados (vamos ver isso melhor daqui a pouco). Pra ser um espaço vetorial, essas operações têm que satisfazer todos os oito axiomas (essas regrinhas) abaixo:

1. A soma é comutativa: v + u = u + v

2. A soma é associativa: v + u + w = v + ( u + w )

3. Elemento neutro da soma:   0 V | v V , v + 0 = v

Em outras palavras, existe um vetor nesse espaço vetorial, denotado por 0 , cujo resultado da soma com qualquer outro vetor v do espaço é esse outro vetor ( 0 + v = v ) .

Ele é comumente denominado como 0 , mas é de extrema importância que você tenha em mente que ele não precisa ser o vetor ( 0,0 , 0 ) se estivéssemos no R 3 por exemplo. O que tem que acontecer é que ele não deve influenciar na soma.

4. Inverso aditivo: v V ,   w V | v + w = 0

Traduzindo, para todo vetor v em V , existe um vetor w também em V , tal que v + w = 0 . No universo de operações que conhecemos o inverso aditivo de 1 é o - 1 , por exemplo.

5. Associativo: α β v = α β v

6. Elemento Neutro da multiplicação: 1 v = v

7. α u + v = α u + α v

8. α + β v = α v + β v

Ta, tem um monte de regras pra gravar, mas onde você quer chegar com isso? Lembra que eu disse lá em cima que as operações não precisavam ser as usuais?

Vamos ter um momento filosófico aqui. Por que 1 + 1 = 2 ?

Bem, porque esse é um resultado útil pra gente! Se você tem 1 sorvete, e ganha mais 1 , você fica com 2 .

Mas, imagine que por algum motivo louco, seria mais conveniente para você que 1 + 1 = 11 . O que você fez foi modificar uma operação. E é aí que entram esses oito axiomas! Vamos ver alguns exemplos que vai ficar mais claro.

Verificando se um conjunto é um Espaço Vetorial

Vamos lá, seja S = x , y , z R 3 | z = 1 com suas respectivas operações de soma vetorial e multiplicação por escalar dadas por:

+ : x 1 , y 1 , z 1 + x 2 , y 2 , z 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

:   α x , y , z = ( α x , α y , α z )

Será que o conjunto S munido dessas operações é um espaço vetorial?

Bom, a primeira pergunta é: Quais são os elementos desse conjunto S ? Ele possui os elementos da forma ( x , y , 1 ) .

Dessa forma, se S for um espaço vetorial temos que esse tipo de vetor, com as operações definidas, tem que satisfazer todos os axiomas que vimos. Bom, primeiro vamos testar se as operações resultam em um vetor no mesmo conjunto, que é o requisito mais básico.

Testando para a soma:

x 1 , y 1 , 1 + x 2 , y 2 , 1 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , 2 )

Opa, repare que a soma resultou em um vetor com coordenada z = 2 ! Logo, ele não pertence a S ! Portanto, S não é um espaço vetorial com as operações definidas acima.

Uma observação interessante é que nós usamos as operações usuais. Isso quer dizer que elas não vão valer para qualquer conjunto, percebe?

Ainda para aquele conjunto S , vamos definir a soma como:

: x 1 , y 1 , z 1 x 2 , y 2 , z 2 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 )

: α x , y , z = ( α x , α y , z )

Obs: Note que trocamos os sinais de soma e multiplicação indicando que suas definições foram alteradas.

Definindo as operações dessa forma, temos:

x 1 , y 1 , 1 x 2 , y 2 , 1 = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , 1 )

α x , y , 1 = ( α x , α y , 1 )

Opa, muito bom. Se continuarmos e testarmos para todos os axiomas (Testa Aí!) veremos que todos são satisfeitos.

Uma coisa que podemos observar é: quem é o elemento neutro da multiplicação?

Nesse caso, continua sendo o número real α = 1 , pois sendo v = ( x , y , 1 ) , temos 1 v = v

E o elemento neutro da soma?

Nesse caso ele não é o ( 0,0 , 0 ) ! Nesse caso, temos ( 0,0 , 1 ) como elemento neutro da soma, já que x , y , 1 0,0 , 1 = ( x , y , 1 ) .

E o inverso aditivo?

Seria o vetor ( - x , - y , 1 ) , de modo que x , y , 1 - x , - y , 1 = ( 0,0 , 1 ) , já que este resultado é o elemento neutro da soma agora.

Isso é tudo pessoal. Espero que tenha ficado claro que não estamos mais presos às operações que aprendemos lá atrás. Agora podemos inventar o que quisermos desde que obedeça àquelas regrinhas! Então bora fazer exercício!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 2ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 85 – Fix. 3.4

O elemento neutro para soma do espaço vetorial das funções reais é o(a):

a Número zero

b Função identidade

c Função identicamente nula

d Conjunto vazio

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Como ele não falou nada, devemos usar as operações usuais. Beleza, vamos letra por letra:

a O número zero não pode ser porque ele nem sequer faz parte do espaço vetorial das funções reais. Ele é um número, não uma função!

Passo 2

b A função identidade é aquela que leva um elemento nele mesmo:

f x = x

Se somarmos uma função arbitrária h ( x ) com essa função f ( x ) , teríamos:

h x + f x = h x + x

Logo, essa também não é a certa.

Passo 3

c A função identicamente nula é aquela que leva qualquer elemento em zero:

f x = 0

Se somarmos uma função arbitrária h ( x ) com essa função f ( x ) , teríamos:

h x + f x = h x + 0 = h ( x )

Opa, obtivemos h ( x ) na resposta! Então essa é a certa!

Passo 4

d Essa não faz sentido nenhum, como somaríamos uma função à um conjunto? Eliminada.

Resposta

Função Identicamente Nula.

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

Dado o espaço vetorial ( V , , ) , foram definidas operações de soma e multiplicação por escalar, respectivamente:

1,1 , a 1,1 , b = 1,1 , a + b ,   a , b R

α 1,1 , b = 1,1 , α b ,   α , b R

Dentre as opções abaixo, marque a alternativa verdadeira:

a O elemento neutro da soma é o vetor 0,0 , 0

b O espaço vetorial V não possui inverso aditivo

c O elemento neutro da soma é 1,1 , 0

d O elemento neutro da multiplicação é α = 0 , pois 0 1,1 , a = ( 1,1 , 0 )

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Bom, nesse caso, podemos ver que ( 0,0 , 0 ) não está definido para o espaço vetorial, pois ele só soma os vetores que possuem 1 nas duas primeiras coordenadas. Assim, não é possível efetuar a operação, logo a afirmativa é FALSA.

Passo 2

b Bom, o inverso aditivo é o numero negativo que somado com o outro gera o elemento neutro da soma. Mas como foi afirmado que V é um espaço vetorial então ele possui inverso aditivo, logo a afirmativa é FALSA.

Passo 3

c Bom, o elemento neutro seria o elemento que somado com outro resulta nesse outro:

u + 0 = u

Se pegarmos o vetor ( 1,1 , 1 ) , quem seria o elemento neutro?

1,1 , 1 + 1,1 , b = 1,1 , 1

1,1 , 1 + b = 1,1 , 1

1 + b = 1 b = 0

Assim, o elemento neutro é de fato o ( 1,1 , 0 ) e então a afirmativa é VERDADEIRA.

Passo 4

d O elemento neutro da multiplicação seria um número real, tal que:

α u = u

Já nessa letra, temos algo assim:

α u = v ,   v u

Então a afirmativa é FALSA.

Resposta

Letra c .

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração Própria

Sobre os conjuntos:

A = p x = a + b x + c x 2 P 2 a + b = 2 }

W = p P 2 a = b = 1 }

E sabendo que W é munido das operações:

1 + x + c 1 x 2 1 + x + c 2 x 2 = 1 + x + c 1 2 + c 2 x 2

λ * 1 + x + c x 2 = 1 + x + λ c x 2

  1. Se p 1 , p 2 A , então p 1 + p 2 A
  2. W é um espaço vetorial

É correto afirmar sobre as afirmações acima que:

a I e II são verdadeiras

b I é verdadeira e II é falsa

c I e II são falsas

d I é falsa e II é verdadeira

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Afirmativa I

Como não se falou nada a respeito das operações de A , usamos as usuais:

p 1 x + p 2 x = a + b x + c x 2 = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 x + c 1 + c 2 x 2

Vamos testar a condição do conjunto:

a + b = 2

a 1 + a 2 + b 1 + b 2 = 2

a 1 + b 1 + a 2 + b 2 = 2

2 + 2 = 2

4 = 2

Lembrando que, como p 1 e p 2 A , temos:

a 1 + b 1 = 2

a 2 + b 2 = 2

Bom, então a afirmativa é falsa, pois 4 2 .

Passo 2

Afirmativa II

Olhando as operações de soma e produto por escalar definidas, vemos que ambas resultam em vetores do tipo:

1 + x + c x 2

Portanto, para saber se W é um espaço vetorial devemos testar os axiomas.

1. A soma é comutativa? Se sim, temos que:

1 + x + c 1 x 2 1 + x + c 2 x 2 = 1 + x + c 2 x 2 1 + x + c 1 x 2

1 + x + c 1 2 + c 2 x 2 = 1 + x + c 2 2 + c 1 x 2

O que implica em:

c 1 2 + c 2 = c 2 2 + c 1

O que claramente não é verdade para todo c 1 e c 2 reais!

Portanto, a afirmativa é falsa!

Resposta

Letra c

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