Subespaços Vetoriais

Teoria Completa

Introdução

Lembra que pra verificarmos se um conjunto era um Espaço Vetorial, tínhamos que testá-lo para cada um dos axiomas? Bom, isso dá muito trabalho não é?

E é por esse motivo que é bem difícil cair alguma questão desse tipo na prova. E quando de fato cai, o conjunto normalmente não será um Espaço Vetorial e falhará para algum axioma.

A maioria das questões relativas à este assunto são de Subespaços Vetoriais e dão consideravelmente menos trabalho porque é uma receitinha de bolo bem mais curta hehe. Bom, vamos dar uma olhada nisso então.

Subespaços Vetoriais

Dado o conjunto abaixo:

V = { ( a ,   b ,   c ) ∈ R 3 | a ,   b ∈ R ,   c = a + b + 2 }

Como provamos que ele é um subespaço vetorial?

O Subespaço Vetorial é simplesmente um subconjunto do espaço vetorial. Lembra aquele lance das caixinhas nos espaços vetoriais? É como se tivéssemos caixinhas ainda menores ali dentro formando subespaços.

O subespaço se comporta da mesma forma que o espaço vetorial e possui as mesmas operações do espaço que o contém. Vamos formalizar:

Repare que definimos W como um subespaço vetorial usando as mesmas operações de V , sejam elas as usuais ou não.

Pra que um conjunto seja um subespaço vetorial, ele deve cumprir muito menos requisitos do que pra ser espaço vetorial, por isso vamos acabar tendo menos trabalho :D Os requisitos são:

Ta, vamo explicar menos formalmente:

  • Lembra do elemento neutro da soma que vimos nos espaços vetoriais? Ele tem que estar dentro da mini caixinha pra que ela seja um subespaço vetorial, por exemplo, supondo que a bolinha vermelha seja esse elemento neutro, vemos que ela só ta dentro do conjunto verde, então o conjunto azul já perdeu a chance de ser subespaço vetorial
  • A segunda condição para que o conjunto verde aí em cima seja subespaço vetorial, é que a soma de dois vetores dele também deve estar dentro dele, não pode estar em nenhum outro lugar do espaço
  • E por fim, a multiplicação de um vetor dele por um número qualquer também deve estar ali dentro, aí sim ele pode ser considerado um subespaço vetorial :D

Na prática o que temos que fazer é testar essas três condições em nosso subconjunto (do mesmo jeito que antes tínhamos que testar os oito axiomas). Então, como podem ver, o processo é basicamente o mesmo, mas muito mais rápido.

Vale lembrar também que o 0 ∈ W está se referindo ao elemento neutro da soma, que não precisa ser necessariamente o 0 .

Então, vamos testar essas 3 condições pro exemplo do conjunto V = { ( a ,   b ,   c ) ∈ R 3 | a ,   b ∈ R ,   c = a + b + 2 }

Como não foi falado quais as operações dentro desse conjunto, vamos adotar as usuais mesmo fechou? Vamo testar o primeiro axioma. O elemento nulo em R 3 com as operações usuais é o próprio ( 0 ,   0 ,   0 ) , e pra que V seja subespaço vetorial, esse elemento deve estar ali dentro. Então bora substituir a , b e c por 0 na condição de c dada pelo conjunto:

0 = 0 + 0 + 2

0 = 2

Eita, isso não é verdadeiro :( isso quer dizer que o elemento nulo não pertence a V e portanto, V não é um subespaço vetorial!

Obs: Note que todo espaço vetorial V possui pelo menos dois subespaços vetoriais: Ele próprio, e o dito subespaço trivial 0 .

Subespaços Afins

Um subespaço afim H é simplesmente a translação de um subespaço vetorial W ⊂ V . Ou seja, temos que:

H = v 0 + W = v 0 + w w ∈ W ,

onde v 0 ∈ V .

Nesse caso, dizemos que H é um subespaço afim associado ao subespaço W .

Ao transladarmos um subespaço duas coisas importantes acontecem: primeiro que o subespaço afim nunca será um subespaço, já que ao deslocarmos ele deixamos de ter a origem!! A segunda coisa é que nosso subespaço afim será paralelo ao subespaço ao qual ele está associado (faz sentido né haha).

Provando que um subconjunto é um subespaço vetorial

Exemplo 1 - Reta

Será que a reta x + 2 y = 0 é um subespaço do R 2 ?

Pera? Pra ser um subespaço, não tinha que ser um conjunto? O que uma reta ta fazendo aí?

Pensa comigo, uma reta é simplesmente um conjunto de vetores que compartilham aquela mesma direção! Então o que temos que fazer é escrever a reta em uma linguagem de conjunto.

A reta x + 2 y = 0 pode ser escrita como x = - 2 y , que nada mais é do que o conjunto de vetores ( - 2 y ,   y ) , que é de fato um subconjunto do R 2 .

Sabemos então que o conjunto formado pelos vetores da reta é o seguinte:

r = x , y ∈ R 2 y - 2,1 ,   ∀ y ∈ R }

Então vamos verificar pelo teorema se ele satisfaz aquelas três características:

O conjunto contém o elemento nulo do R 2 ,   ( 0,0 ) . Se y = 0 , então   0 - 2,1 = ( 0,0 ) ;

Se somarmos dois vetores genéricos distintos dessa reta:

v 1 + v 2 = y 1 - 2,1 + y 2 - 2,1 = k ( - 2,1 )

Onde k = y 1 + y 2 . Portanto, somando dois vetores quaisquer desse conjunto, temos como resultado um vetor também do conjunto, apenas multiplicado por um escalar diferente. Então está fechado para a soma.

Multiplicando um escalar λ ∈ R à um vetor genérico y ( - 2,1 ) , temos:

λ v = λ y - 2,1 = t - 2,1

Onde t = λ y . Novamente, o resultado é um vetor que também pertence ao conjunto. Fechado para a multiplicação.

Como todas as condições foram satisfeitas, temos que a reta x + 2 y = 0 é um subespaço vetorial do R 2 .

Exemplo 2 - Reta

E quanto à reta s = { x , y ∈ R 2 | y = x + 1 } ?

Repare que ela é equivalente ao conjunto de vetores x , x + 1 = 0,1 + x 1,1 . Opa, temos um problema então!

Note que não há nenhum valor de x que resulte no vetor ( 0,0 ) , que é o elemento neutro da soma no R 2 . Fazendo x = 0 , temos o vetor 0,1 . Se fizermos x = - 1 , temos o vetor - 1,0 .

Como 0,0 ∉ s , essa reta não é um subespaço vetorial do R 2 , já que não obedece a primeira condição do teorema.

Vale ressaltar que, pela equação da reta, ela se trata de uma reta deslocada, ou seja, que não passa na origem! Uma conclusão interessante que tiramos disso é que toda reta que passa na origem é um subespaço vetorial de R 2 . Analogamente, toda reta ou plano que passe na origem é um subespaço vetorial de R 3 , e assim por diante.

E o oposto também é válido, se alguma reta, ou plano, ou o que seja, não passa na origem, ela não pode ser um subespaço vetorial de R n . E disso, nós podemos tirar o seguinte teorema:

A reta r pode ser escrita como s p a n { - 2,1 } , enquanto a reta s não pode ser representada apenas por um s p a n .

Mais um último exemplo usando matrizes e a gente põe a mão na massa.

Exemplo 3 - Matriz

O conjunto S = A ∈ M 2 × 2 a 11 2 + a 22 2 = 0 } é um subespaço vetorial do conjunto de matrizes 2 × 2 ?

Repare na condição acima. Todas as matrizes de S devem ter a 11 2 + a 22 2 = 0 . No entanto, temos que ambos a 11 2 e a 22 2 são positivos! Logo para que a condição seja satisfeita, temos:

a 11 = a 22 = 0

Sendo assim, podemos escrever as matrizes desse conjunto como:

A = 0 b c 0

Agora aplicamos o teorema:

  • Podemos ver que a o elemento nulo (no caso, a matriz nula 2 × 2 ) está dentro. Basta tomar b = c = 0 .
  • A 1 , A 2 ∈ M 2 × 2 ⇒ A 1 + A 2 ∈ M 2 × 2 ?
  • Sim pois se

    A 1 = 0 b 1 c 1 0   e   A 2 = 0 b 2 c 2 0 ,

    temos que

    A 1 + A 2 = 0 b 1 + b 2 c 1 + c 2 0

    Os elementos de sua diagonal principal continuam sendo zero. Logo, está fechado para a soma.

  • λ ∈ R ,   A ∈   M 2 × 2 ⇒ λ A ∈ M 2 × 2 ?

Sim, também é verdade, pois se multiplicarmos uma matriz por um número real, seus elementos também serão, e não alteraremos a diagonal principal, que continuará sendo zero:

λ ∙ A = λ ∙ 0 b c 0 = 0 λ b λ c 0

Logo, está fechado para multiplicação por escalar.

Concluímos então que S é um subespaço de M 2 x 2 .

Bizu

Galera, antes de exercitarmos o que aprendemos tenho um bizu que pode ser de grande ajuda na prova. Isso vem do fato de que todo conjunto que pode ser representado por um espaço gerado é um subconjunto. Bom, o fato é que a imagem e o núcleo de uma matriz SEMPRE serão subespaços vetoriais, já que eles sempre podem ser representados como um espaço gerado! Não se esqueça disso haha.

Agora bora pros exercícios :D

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 2ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 86 - problema 3.1.

Determine se é subespaço vetorial de R 3 :

a   U = a , b , c ∈ R 3 a , c ∈ R ,   b = a + c + 1 }

b   V = a , b , c ∈ R 3 a , b ∈ R ,   2 a + 3 b = 5 c }

c   K = a , 1,1 ∈ R 3 a ∈ R }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

( a ) Para testar se U é um subespaço vetorial de   R 3 , precisamos aplicar o teorema.

Sabemos que o elemento nulo de R 3 é o vetor ( 0 , 0,0 ) .

Aplicando na condição do conjunto da letra ( a ) este vetor, temos

0 = 0 + 0 + 1

0 = 1

Como sabemos que 0 não é igual a 1 , chegamos a um absurdo. Logo, o elemento nulo não está contido nesse conjunto e, portanto, não é um subespaço vetorial de R 3 .

Passo 2

( b ) Vamos aplicar o teorema! De cara podemos ver que

2 ∙ 0 + 3 ∙ 0 = 5 ∙ 0

0 = 0

Portanto, o 0 pertence ao conjunto.

Passo 3

Mas, calma, isso ainda não prova nada... Vamos para a segunda condição do teorema.

Sendo

v 1 = a 1 , b 1 , c 1 ,   v 2 = a 2 , b 2 , c 2

v 1 , v 2 ∈ V ⇒ v 1 + v 2 ∈ V ?

Como

v 1 + v 2 = ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2 , c 1 + c 2 )

Aplicando as condições do conjunto temos que:

2 a 1 + a 2 + 3 b 1 + b 2 = 5 c 1 + c 2

2 a 1 + 3 b 1 + 2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 1 + c 2

Repare que na nossa implicação no começo do enunciado, usamos a hipótese de: v 1 , v 2 ∈ V . Isso siginifca que eles pertencem ao conjunto e, portanto, cada uma das suas coordenadas satisfaz a equação descrita. Assim, aplicando a hipótese, temos que que:

2 a 1 + 3 b 1 = 5 c 1   e   2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 2

Continuando:

2 a 1 + 3 b 1 + 2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 1 + c 2