Responde Aí

Subespaço Vetorial

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Teoria

Um Subespaço Vetorial é definido como segue:

E deve apresentar as seguintes propriedades;

Entendeu alguma coisa?

Não, né? kkkkk

Calma calma calma, sem desespero. Essa aí foi a definição formalzona de subespaço vetorial que a gente encontra nos livros e normalmente não entendemos nada hahaha

Partir aprender do jeitinho didático do Responde Aí?

Subespaço Vetorial

O Subespaço Vetorial é simplesmente um subconjunto do espaço vetorial….

📢 ALERTA: Note que para falar de subespaço vetorial é necessário que a gente entenda o que é espaço vetorial. Então eu aconselho você a dar uma pausa na leitura dessa página e conferir essa outra página aqui: Espaço Vetorial, e depois você retorna para cá, estamos combinados?

Imagina que o espaço vetorial é uma caixa bem grande, os Subespaços são caixinhas ainda menores ali dentro formando subespaços:

O subespaço também é um espaço vetorial!! Se comporta da mesma forma que o espaço vetorial e possui as mesmas operações do espaço que o contém, a única diferença é que ele está contido em um espaço vetorial maior.

Para ficar mais claro, vamos fazer uma comparação: quando estudamos teoria dos conjuntos, sabemos que existe o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números reais. Ambos são conjuntos numéricos mas os números naturais são um subconjunto dos números reais, entendeu? A mesma coisa acontece com espaços e subespaços vetoriais!

Se eu te contar você acredita que era isso que aquela definição formal lá de subespaço vetorial estava querendo dizer? hahahahaha 😱

Para um conjunto qualquer ser considerado um Subespaço Vetorial ele deve atender a alguns requisitos, que vamos ver esses requisitos a seguir.

Requisitos de Subespaço Vetorial

Os requisitos que um conjunto deve ter para ser considerado um subespaço vetorial são aqueles apresentados lá no início, daquele jeito formal hahaha, mas vamos explicar agora de uma forma bem menos formal e você vai ver que é muito menos assustador do que parece.

Os requisitos são os seguintes:

1. O é o elemento neutro da soma em espaços vetoriais, então para um mini conjunto dentro do espaço vetorial ser considerado subespaço vetorial ele precisa conter o elemento , porque um subespaço vetorial também é um espaço vetorial.

Vamos supor que uma bolinha vermelha é o elemento neutro. Na figura abaixo a bolinha vermelha está dentro apenas do conjunto verde, então o conjunto azul já perdeu a chance de ser subespaço vetorial.

2. O segundo requisito é que a soma de vetores dentro do subespaço vetorial tem que resultar em outro vetor que também esteja contido dentro desse subespaço vetorial.

3. O terceiro e último requisito é que a multiplicação de um vetor do subespaço por um escalar também tem que resultar em um vetor pertencente ao subespaço.

Então, se você tem um conjunto qualquer e quer saber se ele é um subespaço vetorial você precisa testar cada um desses três requisitos e se ele atender a todos ele é um subespaço vetorial se não atender a pelo menos um entao não é subespaço vetorial.

Outra coisa bem interessante: Para testarmos se um conjunto de vetores é um espaço vetorial a gente tinha que testar 8 axiomas e era um processo bem trabalhoso, mas a gente acabou de ver aqui que um subespaço vetorial também é um espaço vetorial, então se a gente consegue testar que um conjunto é um subespaço vetorial, através de um processo bem mais simples porque temos só requisitos para testar, automaticamente a gente já prova que o conjunto é espaço vetorial também. Irado, não é?

Testando se um conjunto é Subespaço Vetorial

Considere o seguinte conjunto:

E considere também que as operações dentro do conjunto são as operações usuais.

Ele é ou não é um subespaço vetorial?

Primeiro vamos testar se esse conjunto contém o elemento neutro. No e com operações usuais o elemento neutro é o , então temos que ver se ele pertence ao subespaço. Vamos substituir , e por na expressão para e vê se encontramos uma relação verdadeira:

Eita, isso não é verdadeiro :( isso quer dizer que o elemento nulo não pertence a e portanto, não é um subespaço vetorial!

DICA: É muito bom você começar testanto esse requisito mesmo, porque normalmente os conjuntos já são eleminados aqui mesmo e poupamos trabalho hahahaha

Para praticar e fixar o conteúdo é muito bom fazer bastante exercício. Para você já começar essa maratona de exercícios sobre subsespaço vetorial, eu vou deixar aqui em baixo um vídeo de um exercício sobre esse conteúdo com resolução passo a passo. Confere aqui embaixo 👇🏾

Exercício (Vídeo)

Você pode avançar nos seus estudos e conferir essa nossa página aqui: União, Soma e Interseção de Subespaços Vetoriais.

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Requisitos de Subespaço Vetorial

Testando se um conjunto é Subespaço Vetorial

Exercício (Vídeo)

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine se é subespaço vetorial de R 3 :

a   U = a , b , c ∈ R 3 a , c ∈ R ,   b = a + c + 1 }

b   V = a , b , c ∈ R 3 a , b ∈ R ,   2 a + 3 b = 5 c }

c   K = a , 1,1 ∈ R 3 a ∈ R }

Passo 1

( a ) Para testar se U é um subespaço vetorial de   R 3 , precisamos aplicar o teorema.

Sabemos que o elemento nulo de R 3 é o vetor ( 0 , 0,0 ) .

Aplicando na condição do conjunto da letra ( a ) este vetor, temos

0 = 0 + 0 + 1

0 = 1

Como sabemos que 0 não é igual a 1 , chegamos a um absurdo. Logo, o elemento nulo não está contido nesse conjunto e, portanto, não é um subespaço vetorial de R 3 .

Passo 2

( b ) Vamos aplicar o teorema! De cara podemos ver que

2 ∙ 0 + 3 ∙ 0 = 5 ∙ 0

0 = 0

Portanto, o 0 pertence ao conjunto.

Passo 3

Mas, calma, isso ainda não prova nada... Vamos para a segunda condição do teorema.

Sendo

v 1 = a 1 , b 1 , c 1 ,   v 2 = a 2 , b 2 , c 2

v 1 , v 2 ∈ V ⇒ v 1 + v 2 ∈ V ?

Como

v 1 + v 2 = ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2 , c 1 + c 2 )

Aplicando as condições do conjunto temos que:

2 a 1 + a 2 + 3 b 1 + b 2 = 5 c 1 + c 2

2 a 1 + 3 b 1 + 2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 1 + c 2

Repare que na nossa implicação no começo do enunciado, usamos a hipótese de: v 1 , v 2 ∈ V . Isso siginifca que eles pertencem ao conjunto e, portanto, cada uma das suas coordenadas satisfaz a equação descrita. Assim, aplicando a hipótese, temos que que:

2 a 1 + 3 b 1 = 5 c 1   e   2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 2

Continuando:

2 a 1 + 3 b 1 + 2 a 2 + 3 b 2 = 5 c 1 + c 2

5 c 1 + c 2 = 5 c 1 + c 2

E assim está fechado para soma.

Passo 4

Última condição do teorema:

λ ∈ R ,   v = a , b , c ∈ V ⇒ λ v ∈ V ?

Temos

λ v = ( λ a , λ b , λ c )

Logo, aplicando a condição do conjunto ficaríamos com:

2 λ a + 3 λ b = 5 λ c

λ 2 a + 3 b = λ ( 5 c )

Com isso, ao aplicarmos a hipótese v = a , b , c ∈ V , vemos que:

2 a + 3 b = 5 c

Assim, podemos concluir que:

λ 2 a + 3 b = λ ( 5 c )

λ 5 c = λ 5 c

E é fechado para multiplicação por escalar. Logo, é um subespaço vetorial de R 3 .

Passo 5

Na letra ( c ) podemos ver também de cara que não é um subespaço vetorial!

Basta ver que como o conjunto é composto de elementos do tipo ( a , 1,1 ) , é impossível algum elemento desse conjunto ser o vetor ( 0,0 , 0 ) .

Como ele não possui o elemento nulo do R 3 , ele não é subespaço vetorial.

Resposta

  1. Não é subespaço vetorial.
  2. É subespaço vetorial.
  3. Não é subespaço vetorial.

Exercício Resolvido #2

Considere o subconjunto de M 2 × 2 definido por:

Z = A ∈ M 2 × 2 A ∙ 1 - 2 = 0 0 }

Z é um subespaço vetorial de M 2 × 2 ?

Passo 1

Perceba que o conjunto em questão possui como elemento matrizes 2 × 2 . Logo, são esses elementos que temos que testar, para ver se é ou não subespaço vetorial.

Passo 2

0 ∈ Z ?

Podemos ver que a matriz nula, A = 0 0 0 0 satisfaz as condições do conjunto. Pois

A ∙ 1 - 2 = 0 0

Logo, a resposta é sim.

Passo 3

A 1 , A 2 ∈ Z ⇒ A 1 + A 2 ∈ Z ?

Tudo bem então vamos verificar se a soma satisfaz as condições do problema.

A 1 + A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0 ⇒ A 1 ∙ 1 - 2 + A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0   1

Agora, aplicamos a hipótese: A 1 , A 2 ∈ Z , que significa que ambas as matrizes satisfazem a condição do conjunto:

A 1 ∙ 1 - 2 = 0 0

A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0

Substituindo em 1 :

A 1 ∙ 1 - 2 + A 2 ∙ 1 - 2 = 0 0

0 0 + 0 0 = 0 0

Os dois lados da equação são iguais. Logo, está fechado para soma.

Passo 4

λ ∈ R ,   A ∈ M 2 × 2 ⇒ λ A ∈ M 2 × 2 ?

Temos que:

λ A ∙ 1 - 2 = 0 0

λ A ∙ 1 - 2 = 0 0

Ao aplicarmos nossa hipótese, temos que:

A ∙ 1 - 2 = 0 0

λ ∙ 0 0 = 0 0

E, assim, vemos que para qualquer λ real:

0 0 = 0 0

Logo está fechado para a multiplicação por escalar, concluindo que Z é um subespaço vetorial de M 2 × 2 .

Resposta

Sim, Z é um subespaço vetorial de M 2 × 2

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