Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

Teoria Completa

Agora que já estamos experts em núcleo e imagem, vamos ver uma utilização interessante desses conceitos.

Lembra que quando a gente falava sobre funções, podíamos defini-las em injetora, sobrejetora e bijetora? Com transformações lineares também temos essas definições hehe vamos ver o que cada coisa significa!

Injetividade

Uma T L é injetiva quando ela leva cada valor diferente do domínio em um valor diferente do contra domínio. Ou seja:

T v 1 = T v 2 ⇒ v 1 = v 2

Isso quer dizer que se T v 1 = T v 2 , então   v 1 = v 2 . Basicamente, uma T L injetiva nunca levará dois vetores diferentes no mesmo vetor! As imagens de vetores distintos são distintas.

Po, mas eu vou ter que verificar pra todos os vetores se ela leva eles no mesmo?!

Com certeza não haha, é ai que entra nosso amigo Núcleo. Pra saber se uma T L é injetiva é só usar esse teorema:

Opa, isso quer dizer que se acharmos apenas o zero (elemento nulo do espaço pertencente) como gerador do núcleo de uma T L , ela será injetiva! Ou, em outras palavras, quando a dim ⁡ N u c T = 0 , T será injetiva.

Por exemplo, pra uma transformação linear T : R 2 → R 2 ser injetiva, seu núcleo deve ser apenas o vetor nulo:

N u c T = 0,0

Ou seja, pra verificarmos se uma TL é injetiva, basta ver se a dimensão do seu núcleo é 0 :D

Obs: Perceba que no nosso teorema a setinha de implicação aponta para os dois sentidos!! Isso nos dá duas informações:

Se N u c T = 0 , T é injetiva. E, se T é injetiva, então N u c T = 0 ! É muito importante guardar essa dualidade do teorema ;D

Sobrejetividade

Da mesma forma que a injetividade tinha uma relação íntima com o núcleo da T L , a sobrejetividade terá com a imagem da T L .

Dizemos que uma T L é sobrejetiva se a imagem é completamente igual ao contradomínio.

Ou seja, todos os vetores do contradomínio também estão na imagem.

Bom, como já estamos cansados de saber, a imagem está sempre contida no contra domínio da T L . Logo, dizer que elas são iguais implica em dizer que elas têm a mesma dimensão:

Então, para saber se uma T L é sobrejetiva, basta compararmos a dimensão da sua imagem com a dimensão de seu contra domínio!

Obs: Note novamente a dualidade da implicação. Se d i m I m T = d i m ⁡ ( c o n t r a   d o m í n i o ) , então T é sobrejetiva. Da mesma forma, se T é sobrejetiva, temos que d i m I m T = d i m ⁡ ( c o n t r a   d o m í n i o ) .

Bijetividade

Por fim, se uma T L é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo, dizemos que ela é bijetiva. Outro nome possível é que T é um isomorfismo, mas no fundo é tudo a mesma coisa haha.

Pra finalizar, uma dica matadora. Se as dimensões do domínio e do contra domínio de uma T L são iguais, então temos que:

Temos que se T é injetiva, ela também é sobrejetiva. Da mesma forma, se T é sobrejetiva, ela também é injetiva. Portanto, em ambos os casos ela é bijetiva.

Ter isso em mente normalmente poupa um tempo considerável na prova! No entanto lembre-se de que isso só é válido se as dimensões do domínio e do contra domínio forem iguais!!!

Nota: Dois espaços vetoriais V e W são isomorfos se existe uma transformação linear bijetora de V em W .

Resumindo

Injetiva → N u c T = 0 . Cada elemento do contra domínio é atingido no máximo uma vez.

Sobrejetiva →   d i m I m T = d i m ⁡ ( c o n t r a   d o m í n i o ) . Todo elemento do contra domínio é atingido pelo menos uma vez.

Bijetiva →   Injetiva e Sobrejetiva ao mesmo tempo. Todo elemento do contra domínio é atingido exatamente uma vez.

Agora vamo lá fazer exercício :D

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 126 – Fix 4.7

Seja T : V → W uma T L .

i T é sobrejetiva se, e somente se:

a dim ⁡ V = d i m ⁡ ( W )

b dim ⁡ N u c T = d i m ⁡ ( V )

c   dim ⁡ N u c T = 0

d   dim ⁡ I m T = d i m ⁡ ( W )

e   dim ⁡ I m T = 0

i i T é injetiva se, e somente se:

a dim ⁡ V = d i m ⁡ ( W )

b dim ⁡ N u c T = d i m ⁡ ( V )

c   dim ⁡ N u c T = 0

d   dim ⁡ I m T = d i m ⁡ ( W )

e   dim ⁡ I m T = 0

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Passo 1

i Por definição, uma T L é sobrejetiva se:

I m T = c o n t r a   d o m í n i o

Ou, em outras palavras:

dim ⁡ I m T = d i m ⁡ ( c o n t r a   d o m í n i o )

Como na T L em questão W é o contra domínio:

dim ⁡ I m T = d i m ⁡ ( W )

Então, letra d .

Passo 2

i i Bom sabemos que uma T L é injetiva se, e somente se:

N u c T = { 0 }

Em outras palavras:

dim ⁡ N u c T = 0

Logo, letra c

Resposta

i Letra d .

i i Letra c .

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Dada a transformação abaixo:

T x , y = x + y , x - y , 2 x

a Ache uma base para a imagem de T e a sua dimensão;

b Verifique se T é bijetiva.

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Passo 1

a Para calcular geradores para a imagem de T , basta “abrir” a transformação:

x + y , x - y , 2 x = x 1,1 , 2 + y ( 1 , - 1,0 )

Assim, como os geradores são L I , uma possível base para a imagem de T é:

α = 1,1 , 2 , 1 , - 1,0

Logo:

dim ⁡ I m T = 2

Passo 2

b Para saber se T é bijetiva, ela deve ser injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. Olhando para a fórmula da nossa transformação podemos ver:

T : R 2 → R 3

Como o contra-dominio é o R 3 , sua dimensão é 3. A gente sabe também que dim ⁡ I m T = 2 e, portanto, a dimensão da imagem é diferente da dimensão do contra-domínio.

Logo, a transformação não é sobrejetiva. Como não é sobrejetiva, ela não pode ser bijetiva.

Resposta

a ) α = { 1,1 , 2 , 1 , - 1,0 } e dim ⁡ I m T = 2 .

b ) Não.

Exercício Resolvido #3

Transformações Lineares e Teorema Núcleo-Imagem

Seja T : R n ⟶ R m transformação linear injetivas.

Prove que se v 1 , v 2 , … , v s ∈ R n são vetores linearmente independentes, então os vetores T v 1 , T v 2 , … , T v s ∈ R m são também linearmente independentes.

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Passo 1

Primeiro passo a se fazer é separar em hipótese e tese:

Hipótese: v 1 , v 2 , … , v s ∈ R n são vetores linearmente independentes

Tese: T v 1 , T v 2 , … , T v s ∈ R m são também linearmente independentes.

Equacionando a tese:

a 1 T v 1 + a 2 T v 2 + … + a s T v s = 0

Então, queremos achar que a 1 = a 2 = … = a s = 0 , para provar que : T v 1 , T v 2 , … , T v s são L I .

Passo 2

Continuando, vamos passar os coeficientes “para dentro” da transformação, já que ela é linear:

T a 1 v 1 + T a 2 v 2 + … + T a s v s = 0

E agora vamos juntar as somas, também porque nossa transformação é linear:

T a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a s v s = 0

Mas como nossa T é injetiva, sabemos que:

T a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a s v s = 0 ⇔ a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a s v s = 0