Enunciado

7. Classifique a forma quadrática

x 1 2 - 3 x 1 x 2 + 4 x 2 2

Como positiva, negativa, indefinida, não negativa ou não positiva.

Passo 1

Vamos primeiro montar a forma matricial pra R 2 :

x T A x = x 1 x 2 a 1 a 3 a 3 a 2 x 1 x 2

Fazendo isso, ficamos com:

x T A x = a 1 x 1 2 + a 2 x 2 2 + 2 a 3 x 1 x 2

E comparando termo a termo:

a 1 = 1

a 2 = 4

2 a 3 = - 3

a 3 = - 3 2

Então a forma matricial fica:

x T A x = x 1 x 2 1 - 3 2 - 3 2 4 x 1 x 2

Passo 2

Agora vamos achar os autovalores.

Pra achar a equação característica:

det ⁡ λ 1 0 0 1 - 1 - 3 2 - 3 2 4 = 0

det ⁡ λ 0 0 λ - 1 - 3 2 - 3 2 4 = 0

det ⁡ λ - 1 3 2 3 2 λ - 4 = 0

λ - 1 λ - 4 - 3 2 3 2 = 0

λ 2 - 4 λ - λ + 4 - 9 4 = 0

λ 2 - 5 λ + 7 4 = 0

Os autovalores são:

λ = 5 ± 3 2 2

Nâo deu muito bom porque precisamos saber se os autovalores são positivos ou não...

Mas vamos pensar um tiquinho...

Um dos auto valores nós já sabemos que é positivo, que é o:

λ = 5 + 3 2 2

Passo 3

Agora precamos analisar o:

λ = 5 - 3 2 2

Você pode só usar a calculadora e ver que 2 = 1,41 e ver que vai ser positivo, maaaas e se não tiver calculadora? Vou dar uma dicazinha de como pensar (é meio mágica, mas calma que vou tentar explicar bonitinho).

Se você multiplicar pelo conjugado em cima e embaixo (lembrando que a gente faz isso e não muda em nada o valor da expressão, ne)

λ = 5 - 3 2 2 5 + 3 2 5 + 3 2    

Ficamos com:

λ = 5 2 - 3 2 2 2 5 + 3 2    

λ = 25 - 18 2 5 + 3 2    

λ = 7 2 5 + 3 2    

Um número positivo divido por outro positivo dá um número positivo. Então também é positivo.

Sendo assim, como os dois autovalores são positivos, então a forma quadrátiva é positiva.

Resposta

Sendo assim, como os dois autovalores são positivos, então a forma quadrátiva é positiva.

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