Enunciado

6.1. 4. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P (x, y, z) tais que a soma das distâncias de P aos dois pontos (2, 0, 0) e (−2, 0, 0) é igual a 6. Que lugar geométrico é este?

Passo 1

Sabendo que Lugar geométrico nada mais é do que um conjunto de pontos e, como todo conjunto, ele deve estar bem definido. Se um ponto possui uma propriedade podemos imaginar o conjunto de todas as posições que pode assumir. Podemos adotar como hipótese que o lugar geométrico nesse caso é uma quádrica.

O primeiro passo consiste em organizar em uma equação as informações dadas acima:

D i s t P , 2,0 , 0 + D i s t P , - 2,0 , 0 = 6

x - 2 2 + y 2 + z 2 + x + 2 2 + y 2 + z 2 = 6

x - 2 2 + y 2 + z 2 = 6 - x + 2 2 + y 2 + z 2

Passo 2

O segundo passo é expandir e simplificar a equação acima, de forma a encontrar qual quádrica ela pertence.

9 + 2 x = - 3 x + 2 2 + y 2 + z 2

81 + 36 x + 4 x 2 = 9 x + 2 2 + y 2 + z 2

45 = 5 x 2 + 9 y 2 + 9 z 2

Passo 3

O Terceiro passo é encontrar a quádrica a qual essa equação pertence, e para isso, basta compará-la as equações gerais das quádricas. Nesse sentido, pode-se inferir que esta equação representa um ELIPSÓIDE que pode ser descrito pela seguinte equação geral:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Resposta

O lugar geométrico a que a questão se refere, diz respeito a um ELIPSÓIDE.

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