Enunciado

Em cada um dos Problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.

30. y 2 - 16 x + 2 y + 49 = 0

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é reparar se é o x ou o y que está elevado ao quadrado. Como aqui é o y que está elevado ao quadrado, então sabemos que o eixo é paralelo ao eixo x . E a equação reduzida vai ter a cara:

y ' 2 = 2 p x '

Sendo:

x ' = x - h

y ' = y - k

Onde h , k são as coordenadas do Vértice.

Passo 2

Vamos começar a resolver, então... Vamos deixar tudo que tem y de um lado só e o resto do outro lado.

y 2 + 2 y = 16 x - 49

E precisamos completar o quadrado.

SUPER DICA: Vamos pegar o número que vem antes do y e dividir por 2:

2 2 = 1

E daí fazemos:

y + 1 2 = y 2 + 2 y + 1

Repare que “ y 2 + 4 y " já tem lá... Então vamos somar 1, maaas precisamos somar dos dois lados pra não alterar a equação, ne... E ficamos com:

y 2 + 2 y + 1 = 16 x - 49 + 1

Podemos reescrever como:

y + 1 2 = 16 x - 48

y + 1 2 = 16 x - 3

Passo 3

- A equação reduzida, então vai ser:

y ' 2 = 16 x '

E já conseguimos achar as coordenadas do vértice:

h = 3

k = - 1

- O vértice fica:

V 3 , - 1

Vamos já achar o p ...

2 p = 16

p = 8

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico, pois já temos o vértice e sabemos que o p é positivo (então a parábola vai ter concavidade pra direita). Isso vai facilitar muito achar as outras coisas, você vai ver...

Reparei que como temos p , então p / 2 à esquerda do vértice vai ser a diretriz (reta vermelha) e p / 2 à direita do vértice vai ser o foco (o foco fica sempre “dentro” da parábola, ne...). Então:

- O foco:

F 7 , - 1

- A equação da diretriz:

x = - 1

- A equação do eixo da parábola (eixo de simetria, que divide a parábola em duas partes iguais):

y = - 1

Resposta

y ' 2 = 16 x '

V 3 , - 1

F 7 , - 1

x = - 1

y = - 1

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