Enunciado

43. O cabo de uma ponte suspensa tem a forma de uma parábola quando a carga é uniformemente distribuída na horizontal. A distância entre duas colunas é 150 m, os pontos de suporte do cabo nas colunas estão 22 m acima da pista e o ponto mais baixo do cabo está 7 m acima da pista. Ache a distância vertical do cabo a um ponto na pista a 15 m do pé de uma coluna.

Passo 1

Primeiro para resolver essa questão vamos escolher os eixos de forma a facilitar nossa vida. O eixo x no mesmo nível da pista e o eixo y no meio entre duas colunas.

Assim cada coluna está a 75 m do eixo y e os pontos de sustentação estão a 22 m do eixo x.

Agora para achar o que o enunciado pede teremos que achar a equação da parábola formada pela corda.

Com essa configuração e com a informação do enunciado sobre o ponto mais baixo da corda, temos que o vértice da parábola formada pela corda é:

V = ( 0 ,   7 )

Passo 2

Como a parte mais baixa da corda está perto do chão isso mostra que a parábola tem concavidade para cima, assim sua e equação é do tipo:

x - h 2 = 4 p ( y - k )

Agora precisamos achar os valores de h, p e k para a situação que temos.

Passo 3

Achar h e k é fácil, eles representam as coordenadas do vértice.

O h representa a coordenada x do vértice e k a coordenada y, logo:

h = 0           e           k = 7

Assim nossa equação já toma a seguinte forma:

x 2 = 4 p ( y - 7 )

Passo 4

Para encontrarmos o valor de p, vamos usar o fato de já conhecermos um ponto da parábola, que é o ponto onde a extremidade da corda é presa. Jogando os valores desse ponto na equação que temos, iremos descobrir o p.

O ponto onde a corda é presa temos como coordenadas (75, 22), substituindo na nossa equação:

x 2 = 4 p ( y - 7 )

75 2 = 4 p ( 22 - 7 )

5625 = 4 p 15

60 p = 5625

p = 375 4

Passo 5

Agora colocando tudo que encontramos na equação ela toma a seguinte forma:

x - h 2 = 4 p y - k

x 2 = 4 ⋅ 375 4 ( y - 7 )

x 2 = 375 ( y - 7 )

Passo 6

Agora para encontrar distância vertical do cabo a um ponto na pista a 15 m do pé de uma coluna teremos que jogar a distância que queremos que no caso é 60 m que é a distância do eixo y.

Assim:

60 2 = 375 y - 7

3600 = 375 y - 2625

375 y = 6225

y = 16,6

Resposta

A distância vertical do cabo a um ponto na pista a 15 m do pé de uma coluna é 16,6 m.

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