Enunciado

48. Na Figura 16, prove que α = β . (Sugestão: escolha os eixos coordenados de tal forma que a parábola tenha seu vértice na origem e seu eixo ao longo do eixo y e que se abra para cima. Seja Q a intersecção da reta tangente PT com eixo y. Prove que α = β , mostrando que Δ Q P F é isósceles.)

Passo 1

O enunciado nos sugere uma forma de provar a igualdade, mas não necessariamente temos que seguir essa sugestão. Vamos usar um triangulo isósceles também para provar a igualdade, mas não é o mesmo do enunciado.

A imagem a seguir representa a situação que o enunciado nos fornece.

Passo 2

Vamos usar o Δ P F U , já que através das propriedades da parábola podemos saber que dois lados desse triangulo são iguais.

A definição de parábola diz que a distância entre um ponto qualquer da parábola e o foco é igual a distância desse mesmo ponto a reta diretriz. Assim, observando a figura vemos que PU é igual a PF, assim confirmamos que Δ P F U é isósceles.

Passo 3

Podemos ver que a reta tangente é a bissetriz do Δ P F U , e pela propriedade dos triângulos isósceles, que diz que a bissetriz do ângulo entre os lados iguais do triangulo isósceles divide esse ângulo em duas partes iguais.

Uma dessas partes é o ângulo α e o outro é o ângulo β , podemos saber isso graças a seguinte relação:

As duas partes que a reta bissetriz divide o ângulo são iguais, logo α = β .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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