Enunciado

Calcular, se existir, a matriz inversa de A (usando sua adjunta) e use essa inversa para resolver A X = B nos seguintes casos:

  1. A = 1 1 2 3 B = 1 4
  2. A = 1 2 1 1 0 1 2 1 0 B = 3 1 2
  3. A = 1 1 2 0 0 2 0 1 0 0 3 2 0 0 0 4 B = 4 3 2 1

Passo 1

Vamos lá! Essa é uma questão bem direta! Primeiro, ela pede para calcularmos a matriz inversa de A (e ainda afirma o método que devemos utilizar, vê se pode isso!), e depois pede para usarmos essa inversa na resolução do sistema.

Então, vamos precisar da inversa, pois a resolução X será dado por:

X = A - 1 B

Desta forma, temos que descobrir A - 1 e depois fazer o produto de B . Mas, para obtermos A - 1 precisamos utilizar o método da adjunta, o que envolve uma série de passos. Então, vamos ver todo este procedimento calmamente.

Passo 2

O nosso primeiro passo para calcular a matriz inversa, é calcular uma matriz A c .

Lembram quando vamos calcular o determinante de uma matriz pelo método dos cofatores? Então, lá nós tínhamos o termo A i j . Ele era dado pela multiplicação de - 1 i + j pelo determinante da matriz resultante obtida ao retirarmos a linha i e e coluna j da matriz.

Então, a nossa matriz A c é obtida pelos termos por estes termos. Então, o termo a 11 é A 11 , da mesma forma que a 21 é A 21 . Sendo assim, podemos escrever a matriz A c da seguinte forma:

A c = - 1 1 + 1 det ⁡ 0 1 1 0 - 1 1 + 2 det ⁡ 1 1 2 0 - 1 1 + 3 det ⁡ 1 0 2 1 - 1 2 + 1 det ⁡ 2 1 1 0 - 1 2 + 2 det ⁡ 1 1 2 0 - 1 2 + 3 det ⁡ 1 2 2 1 - 1 3 + 1 det ⁡ 2 1 0 1 - 1 3 + 2 det ⁡ 1 1 1 1 - 1 3 + 3 det ⁡ 1 2 1 0 = - 1 2 1 1 - 2 3 2 0 - 2

Agora que calculamos a matriz A c , vamos calcular a matriz adjunta de A , que é exatamente a matriz transposta de A c . Portanto,

a d j A = A c t = - 1 1 2 2 - 2 0 1 3 - 2

Estamos quase lá! A matriz inversa de A então é expressa por:

A - 1 = 1 det ⁡ A a d j A

Só nos resta calcularmos o determinante de A . Ele será:

det ⁡ A = 1 ⋅ 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 - 2 ⋅ 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 ⋅ 2 = 4

Portanto,

A - 1 = 1 4 - 1 1 2 2 - 2 0 1 3 - 2 = - 1 4 1 4 1 2 1 2 - 1 2 0 1 4 3 4 - 1 2

E assim finalizamos a primeira parte da questão!

Passo 3

Agora, vamos para a parte mais difícil! Só que não!

Agora é a moleza, uma multiplicação de matriz. A nossa solução X será:

X = A - 1 B

X = - 1 4 1 4 1 2 1 2 - 1 2 0 1 4 3 4 - 1 2 3 1 2

X = 1 / 2 1 1 / 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

A - 1 = - 1 4 1 4 1 2 1 2 - 1 2 0 1 4 3 4 - 1 2

X = 1 / 2 1 1 / 2

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