Enunciado

Calcular s g n σ nos seguintes casos:

  1. 1 2 3 4 4 3 2 1
  2. 1 2 3 4 2 1 4 3
  3. 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1
  4. 1 2 3 4 5 6 4 5 6 1 2 3

Passo 1

Vamos lá!

Precisamos calcular o sinal da permutação, s g n σ . Este sinal só pode assumir dois valores:

s g n σ = 1 ,     s e   σ   é   p a r - 1 ,     s e   σ   é   í m p a r

Então, a chave está exatamente neste σ que tem aparecido tanto. Mas quem é ele?

Bom, para sabermos quem é esse σ , vamos precisar trabalhar com a matriz dada na questão. Ele será o número de permutações necessárias para que coloquemos a segunda linha da nossa matriz na ordem 1,2 , 3,4 , 5 , a qual corresponde a primeira linha.

Então, de uma forma prática, precisamos verificar o número de trocas necessários para que a segunda linha se iguale a primeira linha.

Passo 2

Então, vamos as contas. Relembrando, temos a seguinte matriz:

1 2 3 4 5 2 3 4 5 1

Vamos trocar de posição os números 1 e 2. Com isto,

1 2 3 4 5 1 3 4 5 2

Agora, vamos fazer a nossa segunda troca. Trocaremos de posição os números 2 e 3. Portanto,

1 2 3 4 5 1 2 4 5 3

Para a nossa terceira troca, vamos trocar de posição os números 4 e 5. Portanto,

1 2 3 4 5 1 2 3 5 4

Para finalizarmos, trocaremos os números 5 e 4. Logo,

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

E ambas as linhas estão iguais. Foram necessárias apenas 4 trocas. Portanto, σ = 4 . E consequentemente, s g n σ = 1 , finalizando assim a nossa questão.

Resposta

s g n σ = 1

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Calcular, se existir, a matriz inversa de A (usando sua adjunta) e use essa inversa para resolver A X = B nos seguintes casos: A = 1 1 2 3 B = 1 4 A = 1 2 1 1 0 1 2 1 0 B = 3 1 2 A = 1 1 2 0 0 2 0 1 0
Seja a matriz de ordem n + 1 (Vandermonde) A = 1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 1 a n n Provar que det ⁡ A = ∏ 0 ≤ ij ≤ n a j - a i , onde
Seja H : V → V a hometetia H λ v = λ v , ∀ v ∈ V . Calcular det ⁡ H
Para as matrizes do exerc��cio anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .
Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A − λIn).X = 0 → .