Enunciado

Adapte ao paraboloide elíptico o método que utilizamos para esboçar o paraboloide hiperbólico.

Passo 1

Vamos acompanhar o mesmo método que o livro usou para esboçar o paraboloide hiperbólico.

A equação do paraboloide elíptico é:

z = x 2 a 2 + y 2 b 2

O primeiro passo é descobrir qual é a forma da interseção dessa superfície com cada plano.

Primeiro vamos fazer a interseção com planos paralelos a x y , nos quais z = k ( k é uma constante qualquer):

k = x 2 a 2 + y 2 b 2

E essa é a equação de uma elipse, então nos planos paralelos a x y a superfície é uma elipse:

E quanto maior é o valor de z = w , maiores são os eixos dessa elipse!

Passo 2

Bom, olha o que acontece quando calculamos as interseções com os planos paralelos a z y , ou seja, quando fazemos x = k :

z = x 2 a 2 + y 2 b 2         →           z = k 2 a 2 + y 2 b 2

E esse termo k 2 / a 2 é uma constante que podemos chamar de K , por exemplo:

z = K + y 2 / b 2

Então:

z = y 2 b 2 + K

Ou seja, temos uma parábola em z y , com uma constante K que dá a altura da parábola em relação a origem.

E essas parábolas vão se encaixar nas elipses que vimos antes:

E a exata mesma coisa acontece quando fazemos y = k ! A essa altura já dá pra visualizar como fica a superfície:

Resposta

Demonstração. Veja os desenhos.

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