Enunciado

Dadas equações do conjunto Ω em relação a um dos sistemas de coordenadas ∑ 1 =   O 1 , e 1 → , e 2 → , e 3 → e ∑ 2 = ( O 2 , f 1 → , f 2 → , f 3 → ) , obtenha equações de Ω em relação ao outro e identifique o conjunto.

( a ) Ω : 2 y z + 6 y - 6 z - y 2 = 9 ∑ 1 ,   O 2 = 2,3 , 0 ∑ 1 ,     f 1 → = e 2 → - e 1 → ,     f 2 → = e 2 → + e 3 → ,       f 3 → = e 1 →

( b ) Ω : [ 2 u + v 2 = - w ( 4 u + 2 v + w ) ] ∑ 2 ,   O 2 = 0,0 , 0 ∑ 1 ,     f 1 → = e 1 → + e 2 → ,     f 2 → = e 3 → ,       f 3 → = e 2 →

( c ) Ω : x - y 2 + x - 2 2 + 2 y = 2 ∑ 1 ,   O 2 = 1,0 , 1 ∑ 1 ,     e 2 → = f 1 → + f 3 → ,     e 3 → = f 2 → - f 1 → - f 3 → ,       e 1 → = - f 1 →

Passo 1

Para escrever qualquer coordenada de um sistema de coordenadas 1 para outro sistema 2 fazermos:

X = ( x , y , z ) = O 2 + u f 1 → + v f 2 → + w f 3 →

E o enunciado da letra a nos dá que os vetores f 1 ,   f 2 e f 3 serão iguais a:

f 1 = - 1 1 0 , f 2 = 0 1 1 , f 3 = 1 0 0

Então as equações de mudança de coordenada serão iguais a (para O 2 = ( 2,3 , 0 ) com respeito a primeira base:

x = 2 - u + w

y = 3 + u + v

z = v

Substituindo esses parâmetros na equação do plano nós teremos:

2 3 + u + v v + 6 3 + u + v - 6 v - 3 + u + v = 9

O que nos dará:

v 2 - u 2 = 0

E é assim que o conjunto Ω fica nesse outro sistema de coordenadas dado.

Passo 2

Para a letra b teremos:

f 1 = 1 1 0 , f 2 = 0 0 1 , f 3 = 0 1 0

E como O 2 = ( 0,0 , 0 ) em relação a base 1 então:

x = u

y = u + w → w = y - x

z = v

Logo a equação plano em relação a base 1 fica:

2 x + z 2 = - ( y - x ) ( 4 x + 2 z + y - x )

Fazendo as contas:

4 x 2 + 4 x z + z 2 = - 2 x y - 2 z y - y 2 + 3 x 2 + 2 x z

Arrumando:

x 2 + 2 x z + z 2 = - ( y 2 + 2 x y + 2 z y )

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x z + 2 x y + 2 y z = 0

Tratando x como nossa variável a ser descoberta nós teremos a seguinte equação do segundo grau:

x 2 + 2 z + 2 y x + y 2 + z 2 + 2 y z = 0

Fazendo Bháskara teremos:

x 1 ; x 2 = - 2 z + 2 y ± 2 z + 2 y 2 - 4 y 2 + z 2 + 2 y z 2

Como uma base transforma uma coordenada para apenas um único número, logo Δ = 0 , ou seja 2 z + 2 y 2 - 4 y 2 + z 2 + 2 y z = 0 , logo:

x = - z - y

x + y + z = 0

E esse é o nosso plano para o sistema de coordenadas na base 1.

Passo 3

Já na letra c temos que converter o plano da base para a base 2 e o raciocínio é bem parecido, só vamos inverter algumas coisas, tipo:

u , v , w = O 1 + x e 1 → + y e 2 → + z e 3 →

Só que como não temos O 1 então temos que isolar f 1 ,   f 2 e f 3 em termos de e 1 , e 2 e e 3 :

e 2 = f 1 + f 3

e 1 = - f 1

e 3 = f 2 - f 1 - f 3

Dessa forma teremos:

f 1 = - e 1

f 3 = e 2 - f 1

f 2 = e 3 + f 1 + f 3

f 1 = - e 1

f 3 = e 2 + e 1

f 2 = e 3 - e 1 + e 2 + e 1 = e 3 + e 2

Logo:

f 1 = - 1 0 0 , f 2 = 0 1 1 , f 3 = 1 1 0

E como O 2 = ( 1,0 , 1 ) na base 1 então:

x = 1 - u + w

y = v + w

z = 1 + v

Substituindo isso na equação do plano nós teremos:

1 - u + w - v - w 2 + 1 - u + w - 2 2 + 2 w + v = 2

Na raça, no amor e na paixão nós encontraremos:

u 2 + 2 u v + v 2 + u 2 - 2 u w + w 2 = 0

O que se resumido fica:

u + v 2 + u - w 2 = 0

Com as variáveis da base 2.

Resposta

a )   v 2 - u 2 = 0

b ) x + y + z = 0

c )   u + v 2 + u - w 2 = 0

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Mostre que os pontos A = ( 2 ,6 ,- 5 ) , B = ( 6 ,9 ,7 ) , C = ( 5 ,5 ,0 ) e D = ( 3 ,10 ,2 ) são vértices de um paralelogramo.
a) Dados A = ( 2 ,5 ,3 ) e B = ( 1 ,1 ,0 ) , calvule as coordenadas dos pontos C e D , que determinam em A B três segmentos congruentes.b) Sejam A = ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) , B = ( x 2 ,y 2 ,z 2 ) e X o pon
Se o sistema é ortogonal, quais são as coordenadas dos pontos simétricos de P = ( x ,y ,z ) em relação a cada plano coordenado.
Sejam A = ( 1 ,6 ,4 ) , B = ( 2 ,- 1 ,9 ) , C = ( 1 ,1 ,- 1 ) e D = ( 1 ,1 ,a ) . Para que valores de a esses pontos são vértices de um quadrilátero? Este quadrilátero é plano ou reverso?