Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Capítulo 4.8 - Ex. 5d

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Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   R → R 2 ,     T x = ( x ,   2 )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos T x = ( x ,   2 ) . Podemos testar as propriedades, porém neste caso é interessante lembrar que se T é linear, então T 0 = ( 0 ,   0 ) .

Passo 2

Se calcularmos T ( 0 ) , vamos obter

T 0 = 0 ,   2 ≠ ( 0 ,   0 )

Como T 0 ≠ ( 0 ,   0 ) , T não é linear.

Cuidado, T 0 = ( 0 ,   0 ) é uma condição necessária, mas não suficiente para que T seja linear. Por exemplo, T x = ( x 2 ,   x ) não é linear porém T 0 = ( 0 ,   0 ) .

Resposta

Não

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