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Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   R 3 → R 3 ,     T x , y , z = ( x + y , x - y , 0 )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y , z = ( x + y , x - y , 0 ) . Vamos testar a primeira propriedade com u = ( a , b , c ) e v = ( d ,   e ,   f ) :

T u + v = T a + d , b + e ,   c + f = ( a + d + b + e ,   a + d - b - e ,   0 )

Assim,

T u + v = a + b ,   a - b ,   0 + ( d + e ,   d - e ,   0 )

Mas note que os termos da direita são exatamente T ( u ) e T ( v ) !!! Portanto,

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda propriedade:

T λ u = T λ a , λ b , λ c = ( λ a + λ b ,   λ a - λ b ,   0 )

Colocando λ para fora:

T λ u = λ a + b ,   a - b ,   0 = λ T ( u )

Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que T é linear!

Resposta

Sim

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