Enunciado

Dentre as transformações T :   R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.

T x , y = ( x 2 ,   y 2 )

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

Neste caso, temos que T x , y = ( x 2 ,   y 2 ) . Aqui é fácil ver que a transformação não é linear pois envolve quadrados.

Passo 2

Um jeito bem simples de ver que não é linear é testar a segunda propriedade com u = ( a , b ) :

T λ u = T λ a , b = T λ a ,   λ b = ( λ 2 a 2 , λ 2 b 2 )

Assim,

T λ u = λ 2 a 2 , b 2 = λ 2 T ( u )

Note que o fator que sai da transformação é λ 2 , e não λ como deveria ser. Como a propriedade não é satisfeita, podemos afirmar que T não é linear!

Resposta

Não

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Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 2 → R 4 , T x , y = ( y ,x ,y ,x )
a) Determinar a transformação linear T :R 2 → R 3 tal que T - 1 ,1 = ( 3 ,2 ,1 ) e T 0 ,1 = ( 1 ,1 ,0 ) .b) Encontrar v ∈ R 2 tal que T v = ( - 2 ,1 ,- 3 ) .
São apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e
Seja T :R 3 → R 2 uma transformação linear definida por T 1 ,1 ,1 = ( 1 ,2 ) , T 1 ,10 = ( 2 ,3 ) e T 1 ,0 ,0 = ( 3 ,4 ) .a) Determinar T ( x , y , z ) .b) Determinar v ∈ R 3 tal que T v = ( - 3 ,- 2
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.