Enunciado

Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal.

g) 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1

Passo 1

Vamos para mais uma questão!!

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   1 - x 2 0                   0 2 1 - x 0                   0 0 0 0 0 1 - x 2 2 1 - x

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ 1 - x 2 0                   0 2 1 - x 0                   0 0 0 0 0 1 - x 2 2 1 - x

det = x 4 - 4 x 3 - 2 x 2 + 12 x + 9

Igualando a zero e resolvendo:

x 4 - 4 x 3 - 2 x 2 + 12 x + 9 =   0

x = -1

x = 3

Passo 2

Substituindo x = -1 na matriz ( A - x I ):

2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2

Escalonando:

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - a a - b b

Assim, temos

a(-1, 1, 0, 0) + b(0, 0, -1, 1)

Substituindo x = 3 na matriz ( A - x I ):

- 2 2 0   0 2 - 2 0 0 0 0 0 0 - 2 2 2 - 2

Escalonando:

1 - 1 0   0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a a b b

Assim, temos

a(1, 1, 0, 0) + b(0, 0, 1, 1)

Passo 3

Com base nos vetores encontrados, podemos achar as bases ortonormais:

W 1 = - 1 2 , 1 2 , 0 ,   0   e   W 2 = ( 0 ,   0 , - 1 2 , 1 2 )

W 3 = 1 2 , 1 2 ,   0 , 0   e   W 4 = ( 0 ,   0 , 1 2 , 1 2 )  

Assim, a matriz ortogonal é tal que:

P =   - 1 2 0 1 2   0 1 2 0 1 2 0 0 0 - 1 2 0 0 0 1 2 1 2 , que gera D =   - 1 0 0   0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3

Resposta

P =   - 1 2 0 1 2   0 1 2 0 1 2 0 0 0 - 1 2 0 0 0 1 2 1 2

D =   - 1 0 0   0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3

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