Enunciado

Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal.

  1. 2 2 2 2

Passo 1

Vamos para mais uma questão!!

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   2 - x 2 2 2 - x

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ 2 - x 2 2 2 - x

det = ( 2 - x ) ( 2 - x ) -   4

det = x 2 - 4 x

Igualando a zero e resolvendo:

x 2 - 4 x = 0

x = 0

x = 4

Passo 2

Substituindo x = 0 na matriz ( A - x I ):

2 2 2 2

Escalonando:

1 1 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - a a

Assim, temos

a(-1, 1)

Substituindo x = 4 na matriz ( A - x I ):

- 2 2 2 - 2

Escalonando:

1 - 1 0 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a a

Assim, temos

a(1, 1)

Passo 3

Descobrimos, no passo anterior, os vetores bases:

V1 = (-1, 1)

V2 = (1, 1)

Para transformarmos esses vetores em bases ortonormais:

W 1 = V 1 V 1

W 2 = V 1 2 = ( - 1 2 , 1 2 )

W 2 = V 2 V 2

W 2 = V 2 2 = ( 1 2 , 1 2 )

Assim, a matriz ortogonal é tal que:

P =   - 1 2 1 2 1 2 1 2 , que gera D =   0 0 0 4

Resposta

P =   - 1 2 1 2 1 2 1 2

D =   0 0 0 4

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