Enunciado

Determinar o valor de α para que os pontos   A ( α ,   1 ,   9 ) ,   B ( 2 ,   3 ,   4 ) ,   C ( - 4 ,   - 1 ,   6 ) e

D ( 0 ,   2 ,   4 ) sejam coplanares.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né? Para que um ponto seja coplanar, ou pontos sejam coplanares, ele ou eles devem estar num mesmo plano, certo?

Mas como vamos fazer isso? Bom, temos quatro pontos no problema, e num deles não sabemos uma das coordenadas. Sabemos de outros carnavais que podemos equacionar um plano com três pontos. Então a ideia aqui é equacionar o plano com os três pontos conhecidos; e, a partir dessa equação, substituir o ponto A , porque se todos os pontos são coplanares, esse ponto vai satisfazer a equação do plano.

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar equacionando o plano. Vou fazer aqui a equação geral. Poderia ser feito usando as equações paramétricas também, sem problema algum! Mas me prece que usando a equação geral fica mais fácil.

Sendo assim, vou te relembrar do que será preciso para cada equação do plano.

Para escrever a equação geral do plano precisamos de um vetor normal ao plano e um ponto que pertença a ele.

A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

Temos três pontos, então vou montar dois vetores, por exemplo, B C - e B D - . Esses vetores são paralelos ao plano, então fazendo o produto vetorial entre eles, podemos determinar um vetor normal ao plano.

E o ponto? Bom, posso escolher qualquer um entre os que sabemos, aqui vou usar o D .

Passo 3

Agora vou determinar o vetor normal ao plano. Primeiro vamos construir dois vetores diretores do plano, usando os pontos que conhecemos.

Dos pontos B 2 , 3,4 , C - 4 , - 1,6 ,   D ( 0,2 , 4 ) , vamos encontrar dois vetores: um indo de B até C e outro indo de B até D :

B C - = C - B = - 4 , - 1,6 - 2,3 , 4 = ( - 6 , - 4,2 )

B D - = D - B = 0,2 , 4 - 2,3 , 4 = ( - 2 , - 1,0 )

Tranquilo?

E agora vou fazer o produto vetorial entre eles:

B C - × B D - = i ^ j ^   k ^ - 6 - 4 2 - 2 - 1 0 = i ^ 0 + 2 + j ^ - 4 + 0 + k ^ ( 6 - 8 )

= 2 , - 4 , - 2

Passo 4

Beleza? Então até aqui temos que o vetor normal ao plano é ( 2 , - 4 , - 2 ) e um ponto que pertence a ele é o D ( 0,2 , 4 ) (aqui poderia ser ou o C ou o B , certo? Qualquer um serviria =D).

Com isso, podemos escrever a equação do plano geral:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

2 x - 0 - 4 y - 2 - 2 z - 4 = 0

2 x - 4 y - 2 z + 8 + 8 = 0

2 x - 4 y - 2 z + 16 = 0   ,   ( ÷ 2 )

x - 2 y - z + 8 = 0

Assim a equação do plano é x - 2 y - z + 8 = 0 .

Passo 5

E se todos os pontos pertencem ao plano, então as coordenadas de A satisfazem a essa equação. Então agora vou substituir as coordenadas desse ponto na equação e assim determinar o valor de α .

O ponto A   é A ( α ,   1 ,   9 ) , e substituindo na equação do plano do passo anterior temos:

α - 2 1 - 9 + 8 = 0

α - 2 - 9 + 8 = 0

α - 11 + 8 = 0

α - 3 = 0 ∴ α = 3

Beleza? Então o parâmetro α deve valer 3 para que esses quatro pontos A , B , C   e D sejam coplanares.

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

α = 3

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