Enunciado

O plano contém a reta

r : {[[x = 2 + t],[y = 1 - t],[z = 3 + 2 t]])

E é perpendicular ao plano pi : 2 x + 2 y - 3 z = 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né? Sendo assim, vou te relembrar do que será preciso para a equação geral do plano.

Para escrever a equação geral do plano precisamos de um vetor normal ao plano e um ponto que pertença a ele.

A equação geral é:

a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0

Onde x_0 , y_0 , z_0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia aqui é a partir de um vetor diretor da reta dada (assim o plano vai obrigatoriamente conter essa reta) fazer um produto vetorial entre esse vetor e o vetor normal ao plano pi dado. Assim teremos um vetor normal ao plano que queremos equacionar que é perpendicular ao plano pi e, juntando com um ponto da reta, conseguimos equacionar o plano.

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando o vetor normal ao plano pi . A equação do plano dado é 2 x + 2 y - 3 z = 0 e um vetor normal a ele é vec v = ( 2,2 , - 3 ) .

Agora o vetor diretor da reta. A reta tem a seguinte equação:

r : {[[x = 2 + t],[y = 1 - t],[z = 3 + 2 t]])

E as componentes do vetor diretor são os números que multiplicam o parâmetro t : vec u = ( 1 , - 1,2 ) .

E por fim podemos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores:

vec v xx vec u = |[[hat i,hat j,hat k],[2,2,-,3],[1,-,1,2]]| = vec i (4 - 3) + vec j (- 3 - 4) + vec k ( - 2 - 2 )

= (1 , - 7 , - 4)

Passo 3

Agora vamos achar um ponto da reta. Podemos escolher qualquer um, é só escolher um valor para o parâmetro t . Por simplicidade, vou escolher t = 0 , assim o ponto dessa reta é ( 2 , 1,3 ) .

Passo 4

Agora juntando o vetor normal (1 , - 7 , - 4) com o ponto (2,1 , 3) , podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0

1 (x - 2) - 7 (y - 1) - 4 (z - 3) = 0

1 x - 2 - 7 y + 7 - 4 z + 12 = 0

x - 7 y - 4 z + 17 = 0

Assim a equação do plano é x - 7 y - 4 z + 17 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x - 7 y - 4 z + 17 = 0

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