Enunciado

Determine a equação geral do plano que contém os seguintes pares de retas:

r : y = 2 x - 3 z = - x + 2 e       s : x - 1 3 = z - 1 5 y = - 1

Passo 1

E aí tudo joia?

Precisamos encontrar um vetor normal ao plano pra escrever a equação geral dele.

Primeiramente, olha uma coisa:

r : y = 2 x - 3 z = - x + 2

A gente tem duas relações em função de x , pra descobrir o vetor diretor da reta, a gente pode pegar dois pontos dela e calcular o vetor.

Vamos fazer isso nas duas retas😉

Passo 2

Bora lá então! Fazendo x = 0   e   x = 1 na reta r , encontramos os pontos:

A 0 ,   - 3,2   e     B ( 1 ,   - 1,1 )

E aí temos o vetor:

A B → = ( 1 ,   2 ,   - 1 )

Esse é o vetor diretor da reta r . Vamos ver o da outra agora...

Passo 3

Na s   a gente já tem que y = - 1 , e se a gente mexer naquela de cima, a gente vai ter:

x - 1 3 = z - 1 5

5 x - 1 = 3 ( z - 1 )

5 x - 5 = 3 z - 3

5 x = 3 z + 2

x = 3 z + 2 5

Aí pra ficar com valores inteirinhos a gente pode pegar z = 1   e   z = 6 , e teremos x = 1 e x = 4 .

Temos então os pontos:

C 1 ,   - 1,1   e   D ( 4 , - 1,6 )

Fazemos o vetor...

C D → = ( 3 ,   0,5 )

Passo 4

Temos então os dois vetores das retas, que são paralelos ao plano. Pra achar um vetor normal, a gente vai fazer o produto vetorial entre eles:

det ⁡ i → j → k → 1 2 - 1 3 0 5 = i → 2 - 1 0 5 - j → 1 - 1 3 5 + k → 1 2 3 0

= 10 i → - 8 j → - 6 k →

Temos um vetor normal então (uhuull!) que é o ( 10 ,   - 8,8 ) .

Nosso plano então é da forma:

10 x - 8 y - 6 z + d = 0

Passo 5

Vamos achar esse d agora pegando um ponto qualquer das retas e jogando nessa equação do plano. Vou pegar o ponto:

A ( 0 , - 3,2 )

10 0 - 8 - 3 - 6 2 + d = 0

d = - 12

O nosso plano então é:

10 x - 8 y - 6 z - 12 = 0

5 x - 4 y - 3 z - 6 = 0

E prontinho! Finalmente encontramos nosso plano😉

Resposta

5 x - 4 y - 3 z - 6 = 0

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Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto P e é perpendicular ao plano π .(a) P = 1 ,3 ,7 ,π : 2 x - y + z = 6 .
Verifique se r e π são perpendiculares:(a) r : X = 0 ,0 ,4 + λ 1 , - 1,1π : X = 1 ,2 ,3 + λ 1 ,2 ,1 + μ ( 1 ,0 ,1 )
Verifique se r e π são perpendiculares:(e) r : x - y - z = 0 x + y = 0π :2 x - 2 y + 4 z = 1
Verifique se r e π são perpendiculares:(d) r : x + y + z = 1 2 x + y - z = 0π :x - y + z = 1
Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto P e é perpendicular ao plano π .(d) P = 0 ,0 ,0 ,π : X = 1 ,0 ,0 + λ - 1 ,1 ,1 + μ ( - 1 ,1 ,0 ) .