Enunciado

Encontre a matriz canônica para a composição dada em R 2 para uma rotação de 15 ° , seguida de uma rotação de 105 ° , seguida de uma rotação de 60 ° .

Passo 1

Primeiro precisamos lembrar que R θ é uma matriz de rotação:

R θ = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Passo 2

Fazendo o produto de duas matrizes de rotação descobrimos que.

R θ 1 ∘ R θ 2 = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 ⋅ cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

= cos ⁡ θ 1 * cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 1 * sen ⁡ θ 2 - 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 2 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

R θ 1 ∘ R θ 2 = cos ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) - sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

Assim podemos observar que ao invés de multiplicarmos as matrizes basta somar seus ângulos e realizar a transformação.

Passo 3

Somando os ângulos vemos que:

θ = 15 ° + 105 ° + 60 ° = 180 °

Assim temos que:

R θ = cos ⁡ 180 ° - sen ⁡ 180 ° sen ⁡ 180 ° cos ⁡ 180 ° = - 1 0 0 - 1

Resposta

- 1 0 0 - 1

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