Enunciado

Um hexágono regular contido em π : x + y + z - 3 = 0 tem centro H = ( 1 ,   1 ,   1 ) e seu lado mede 2 . Determine seus vértices sabendo que dois deles pertencem a r : X = 1 ,   1 ,   1 + λ   ( 1 ,   0 ,   - 1 ) .

Passo 1

Queremos achar os vértices de um hexágono regular cujo lado é 2 , contido no plano x + y + z = 3 e com centro H = ( 1 ,   1 ,   1 ) . Assim, seja P = ( x ,   y ,   z ) um vértice genérico desse tetraedro. Devemos ter

z = 3 - x - y

Assim,

P = ( x ,   y ,   3 - x - y )

Além disso, como se trata de um hexágono regular, a distância de cada vértice ao centro é igual ao lado do tetraedro:

d P H = H P → = 2

Assim, como   H P → = ( x - 1 ,   y - 1 ,   2 - x - y ) :

x - 1 2 + y - 1 2 + 2 - x - y 2 = 2

Portanto,

x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + 4 - 4 x - 4 y + 2 x y + x 2 + y 2 = 2

Juntando os termos

2 x 2 + 2 y 2 - 6 x - 6 y + 2 x y + 4 = 0 ⇒ x 2 + y 2 - 3 x - 3 y + x y + 2 = 0

Essa equação da o conjunto dos pontos P que estão no plano π e distam 2 de H . Os vértices do hexágono estão nesse conjunto!

Passo 2

Sabemos também que dois dos vértices do hexágono estão na reta r : X = 1 ,   1 ,   1 + λ   ( 1 ,   0 ,   - 1 ) . Assim,

x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   1 + λ   1 ,   0 ,   - 1 = ( 1 + λ ,   1 ,   1 - λ )

Obviamente, essa reta deve estar contida no plano π , já que dois de seus pontos estão nele! Tiramos de cara que y = 1 . Substituindo na equação do passo 1:

x 2 + 1 - 3 x - 3 + x + 2 = 0 ⇒ x 2 - 2 x = 0

Assim, achamos

x = 0               o u             x = 2

Obtemos então dois vértices:

A = 0 ,   1 ,   2             e             B = ( 2 ,   1 ,   0 )

Vamos calcular a distância entre esse dois pontos:

d A B = A B → = 2 2 + 0 2 + 2 2 = 2 2

Note que a distância é o dobro do lado do hexágono. Além disso, note que H é o ponto médio entre A e B . Assim, A e B representam vértices opostos do hexágono!

Passo 3

Vamos fazer um esboço do hexágono para nos localizarmos melhor:

Vamos atrás agora dos pontos C e D cuja distância até A seja 2 . Esses pontos devem ser da forma ( x ,   y ,   3 - x - y ) com x 2 + y 2 - 3 x - 3 y + x y + 2 = 0 :

x - 0 2 + y - 1 2 + 3 - x - y - 2 2 = 2 2

Portanto,

x 2 + y 2 - 2 y + 1 + 1 + x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 2 x y = 2

Logo,

2 x 2 + 2 y 2 - 2 x - 4 y + 2 x y = 0

Ou ainda,

x 2 + y 2 - x - 2 y + x y = 0

Desta forma, queremos resolver o sistema

x 2 + y 2 - x - 2 y + x y = 0 x 2 + y 2 - 3 x - 3 y + x y + 2 = 0

Subtraindo a primeira equação pela segunda:

- x - 2 y + 3 x + 3 y - 2 = 0 ⇒ 2 x + y - 2 = 0 ⇒ y = 2 - 2 x

Portanto, os pontos C e D são do tipo

x ,   2 - 2 x ,   3 - x - 2 + 2 x = x ,   2 - 2 x ,   x + 1

Passo 4

Vamos olhar agora para a distância entre C e B :

Usando a lei dos cossenos:

B C 2 = C E 2 + E B 2 - 2 ⋅ C E ⋅ E B ⋅ cos ⁡ 120 °

Assim,

B C 2 = 2 + 2 - 2 ⋅ 2 ⋅ - 1 2 = 4 + 2 = 6

Assim, as distância de C e D até B são 6 . Portanto, usando que esses pontos são da forma ( x ,   2 - 2 x ,   x + 1 ) e B = ( 2 ,   1 ,   0 ) :

x - 2 2 + 2 - 2 x - 1 2 + x + 1 - 0 2 = 6 2

Logo,

x 2 - 4 x + 4 + 1 - 4 x + 4 x 2 + x 2 + 2 x + 1 = 6

Assim,

6 x 2 - 6 x = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau:

x = 0             o u             x = 1

Assim,

C = 0 ,   2 ,   1             e             D = ( 1 ,   0 ,   2 )

Passo 5

Faltam os pontos E e F . Para achar eles, vamos usar que H é ponto médio entre D e E e entre C e F :

H = D + E 2                   e                       H = C + F 2

Assim,

E = 2 H - D               e             F = 2 H - C

Portanto,

E = 2 ,   2 ,   2 - 1 ,   0 ,   2                       e                             F = 2 ,   2 ,   2 - ( 0 ,   2 ,   1 )

Logo,

E = 1 ,   2 ,   0               e             F = ( 2 ,   0 ,   1 )

Resposta

A = 0 ,   1 ,   2             e             B = ( 2 ,   1 ,   0 )

C = 0 ,   2 ,   1             e             D = ( 1 ,   0 ,   2 )

E = 1 ,   2 ,   0               e             F = ( 2 ,   0 ,   1 )

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