Enunciado

Identificar as quádricas representadas pelas equações

4 x 2 - y 2 = z

Passo 1

Nessa questão, devemos manipular os termos da equação a fim de identificar um modelo que determine qual tipo de quádrica ela é.

Numa análise preliminarnão vemos necessidade de completar quadrados. Logo, a quádrica dessa equação está centrada em x 0 ,   y 0 ,   z 0 = ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Passo 2

Vamos começar analisando a equação 4 x 2 - y 2 = z .

As equações modelo de quádricas separam os termos com incógnitas de um lado da equação e os escalares do outro lado. Nesse caso, não temos um escalar isolado e nem precisamos isolar a variável que não está ao quadrado. Então, deixaremos a equação do jeito que está.

Passo 3

Agora, vamos deixar essas incógnitas com um denominador. Para isso, vamos usar da relação

a x 2 = x 2 1 a

Manipulando a equação usando essa relação, temos:

x 2 4 - y 2 1 = z

Essa equação se parece com o modelo de equação z = x 2 a 2 - y 2 b 2 que é a equação do paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z .

Pronto! Era isso que a questão pedia!

Resposta

A equação representa um paraboloide hiperbólico

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Prove que, se a ,b ,c não são todos iguais, a equação x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 + z - l 2 c 2 = 1 descreve um hiperboloide.
Prove que a quádrica Ω :- x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 é um hiperboloide de uma folha. Faça um esboço.
Os hiperboloides de equações x 2 / a 2 + y 2 / a 2 - z 2 / c 2 = 1 e - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 a 2 = 1 são chamados hiperboloides de rotação. Por que?
Se a = b ≠ c ou a = c ≠ b , ou b = c ≠ a , o elipsoide Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 é chamado de elipsoide de rotação. Dê uma explicação intuitiva para isso.
Prove que a equação dada descreve um hiperboloide, classifique-o quanto ao número de folhas e escreva uma equação vetorial de seu eixo distinguido. Determine seus vértices, se for o caso. x - h 2 a 2