Enunciado

Prove que a equação dada descreve um hiperboloide, classifique-o quanto ao número de folhas e escreva uma equação vetorial de seu eixo distinguido. Determine seus vértices, se for o caso.

  1. x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 - z - l 2 c 2 = 1
  2. x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 - z - l 2 c 2 = 1 .

Passo 1

Nos dois casos, vamos fazer a seguinte translação de eixos:

x ' = x - h y ' = y - k z ' = z - l ⟹ x = x ' + h y = y ' + k z = z ' + l

Passo 2

  1. Nesse caso, temos
  2. x ' 2 a 2 + y ' 2 b 2 - z ' 2 c 2 = 1

    que representa um hiperboloide de uma folha de centro h ,   k ,   l . Notemos que o eixo distinguido passa por h ,   k ,   l e é paralelo ao eixo z . Assim,

    X = h , k , l + λ 0,0 , 1

    Passo 3

  3. Nesse caso, temos

x ' 2 a 2 - y ' 2 b 2 - z ' 2 c 2 = 1

que representa um hiperboloide de duas folhas, de centro h , k , l . Seu eixo distinguido passa por h , k , l e é paralelo a O x . Assim,

X = h , k , l + λ 1,0 , 0

Os vértices são os obtidos para x ' = ± a ⟹ x = ± a + h . Portanto,

V = ± a + h ,   k , l

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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