Enunciado

Prove, em cada caso, que a equação dada descreve uma quádrica cônica.

(a) y 2 = x 2 a 2 + z 2 b 2

(b) x 2 = y 2 a 2 + z 2 b 2

(c) z - l 2 = x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2

(d) y - k 2 = x - h 2 a 2 + z - l 2 b 2

(e) x - h = y - k 2 a 2 + z - l 2 b 2

Passo 1

Bom pessoal, o que significa provar que uma equação descreve uma quádrica cônica?

A forma mais fácil de conseguir isso, é mostrando que a equação pode ser descrita nessa forma aqui:

z 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2

Em todos esses casos, só precisamos fazer algumas mudanças de coordenadas para deixar as equações nessa forma.

Passo 2

(a) Aqui o nosso problema é só uma confusão entre as variáveis x , y e z .

y 2 = x 2 a 2 + z 2 b 2

A gente precisa que o z esteja no lugar do y , então vamos fazer uma rotação como essa aqui:

Então nesse caso o que aconteceu com os eixos foi:

x ' = x y ' = - z z ' = y

Substituindo isso na equação:

y 2 = x 2 a 2 + z 2 b 2

- z ' 2 = x ' 2 a 2 + y ' 2 b 2

Então:

z ' 2 = x ' 2 a 2 + y ' 2 b 2

Agora chegamos na forma geral do enunciado.

Passo 3

(b) Agora olhando para a segunda expressão:

x 2 = y 2 a 2 + z 2 b 2

Temos que trocar x por z , então vamos fazer o seguinte:

Ou seja, a transformação é:

x ' = - z y ' = y z ' = x

Substituindo na equação:

x 2 = y 2 a 2 + z 2 b 2

- z ' 2 = y ' 2 a 2 + - x ' 2 b 2

Então:

z ' 2 = x ' 2 a 2 + y ' 2 b 2

Que é a forma reduzida que vimos lá em cima.

Passo 4

(c) Para a terceira equação:

z - l 2 = x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2

Só precisamos fazer uma translação de coordenadas:

z ' = z - l x ' = x - h y ' = y - k

Que é só uma forma de “deslocar” a origem do nosso sistema de coordenadas, e nós podemos fazer isso livremente.

Substituindo na equação:

z ' 2 = x ' 2 a 2 + y ' 2 b 2

z ' 2 = x ' 2 a 2 + y ' 2 b 2

Que á a forma reduzida mais uma vez.

Passo 5

(d) Para a quarta equação:

y - k 2 = x - h 2 a 2 + z - l 2 b 2

Aqui primeiro vamos fazer uma translação igual a do passo anterior:

z ' = z - l x ' = x - h y ' = y - k

y ' 2 = x ' 2 a 2 + z ' 2 b 2

E agora fazemos uma rotação igual a do item (a):

x ' ' = x ' y ' ' = - z ' z ' ' = y '

Então:

y ' 2 = x ' 2 a 2 + z ' 2 b 2

z ' ' 2 = x ' ' 2 a 2 + y ' ' 2 b 2

Que é a forma reduzida!

Passo 6

(e) Por último, a equação é

x - h = y - k 2 a 2 + z - l 2 b 2

Vamos fazer a translação de novo:

z ' = z - l x ' = x - h y ' = y - k

Para encontrar:

x ' 2 = y ' 2 a 2 + z ' 2 b 2

E agora vamos fazer a mesma rotação do item b :

x ' ' = - z ' y ' ' = y ' z ' ' = x '

Então:

z ' ' 2 = y ' ' 2 a 2 + - x ' ' 2 b 2

z ' ' 2 = y ' ' 2 a 2 + x ' ' 2 b 2

Então essa também é uma quádrica cônica.

Resposta

Veja as demonstrações. Nos itens (a) e (b) usamos uma rotação dos eixos, e nos itens (c), (d) e (e) usamos rotações e translações.

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