Enunciado

Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes. Vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:

Suponhamos que a nossa mensagem seja “PUXA VIDA”. Podemos formar uma matriz 3 × 3 assim:

P U X A - V I D A

Que usando a correspondência numérica fica:

15 20 23 1 0 21 9 4 1 = M

Agora seja C uma matriz qualquer 3 × 3 inversível, por exemplo:

C = 1 0 1 - 1 3 1 0 1 1

Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C , obtendo M ∙ C .

15 20 23 1 0 21 9 4 1 ∙ 1 0 1 - 1 3 1 0 1 1 = - 5 83 58 1 21 22 5 13 14

Transmitimos esta nova matriz (na prática, envia-se a cadeia de números - 5     83     58     1     21     22     5     13     14 ). Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa ( ( M ∙ C ) ∙ C - 1 = M ) e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada matriz chave para o código.

  1. Você recebeu a mensagem:
  2. - 12     48     23   - 2     42     26     1     42     29

    Utilizando mesma chave traduza a mensagem.

  3. Aconteceu que o inimigo descobriu a sua chave. O seu comandante manda você substituir a matriz chave por 1 1 - 1 1 1 0 0 0 2 . Você transmite a mensagem “CRETINO...” a ele (codificada, naturalmente!). Por que não será possível a ele decodificar a mensagem?
  4. Escolha uma matriz-chave que dê para codificar palavras até 16 letras. Codifique e descodifique à vontade!

Passo 1

a) Nessa questão, primeiro temos que representar nossa mensagem em forma de matriz. Veja:

- 12 48 23 - 2 42 26 1 42 29

Para decodificar essa mensagem, devemos ter em mãos a inversa da matriz chave, que foi dada no enunciado.

Vamos usar o método fornecido na sessão 3.9, veja:

1 0 1 | 1 0 0 - 1 3 1 | 0 1 0 0 1 1 | 0 0 1

Vamos então às operações simples com linhas:

l i n h a   2 + l i n h a   1 :

1 0 1 | 1 0 0 0 3 2 | 1 1 0 0 1 1 | 0 0 1

l i n h a   3 3 :

1 0 1 | 1 0 0 0 1 2 3 | 1 3 1 3 0 0 1 1 | 0 0 1

l i n h a   3 - l i n h a   2 :

1 0 1 | 1 0 0 0 1 2 3 | 1 3 1 3 0 0 0 1 3 | - 1 3 - 1 3 1

l i n h a   1 - 3 × l i n h a   3 :

1 0 0 | 2 1 - 3 0 1 2 3 | 1 3 1 3 0 0 0 1 3 | - 1 3 - 1 3 1

l i n h a   2 - 2 × l i n h a   3 :

1 0 0 | 2 1 - 3 0 1 0 | 1 1 - 2 0 0 1 3 | - 1 3 - 1 3 1

3 × l i n h a   3 :

1 0 0 | 2 1 - 3 0 1 0 | 1 1 - 2 0 0 1 | - 1 - 1 3

Ou seja:

C - 1 = 2 1 - 3 1 1 - 2 - 1 - 1 3

Agora é só multiplicar pela matriz fornecida:

- 12 48 23 - 2 42 26 1 42 29 ∙ 2 1 - 3 1 1 - 2 - 1 - 1 3 = 1 13 9 12 14 0 15 14 0

Ou seja:

1     13     9     12     14     0     15     14 = A N I M O   P O

Passo 2

b) Para que uma chave possa ser utilizada devemos conseguir decodificar a mensagem após a codificação, certo?

Pra isso, a gente viu que precisa da matriz inversa da chave, ou seja, a chave precisa ter inversa!

Vamos calcular o determinante da matriz fornecida:

1 1 - 1 1 1 0 0 0 2

Fazendo as operações simples com linhas:

l i n h a   2 - l i n h a   1 - 1 2 × l i n h a 3 :

1 1 - 1 0 0 0 0 0 2 = 0

Ou seja, a matriz possui determinante nulo, o que implica que sua inversa não existe!

Como a matriz não possui inversa, não será possível decodificar a mensagem.

Passo 3

c) Nesse item, basta mostrar uma matriz 4 × 4 , pois queremos codificar palavras de até 16 letras, que seja não singular. Um exemplo é a matriz:

1 0 0 0 1 1 0 0 1 - 1 1 0 0 0 1 1

Resposta

  1. “ANIMO PO”;
  2. Não possui inversa;
  3. Qualquer matriz 4 × 4 não singular.
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Determine todos os valores de λ para os quais det ⁡ A - λ I n = 0 , em que (a) A =0 1 2 0 0 3 0 0 0
Determine todos os valores de λ para os quais det ⁡ A - λ I n = 0 , em que (c) A =2 - 2 3 0 3 - 2 0 - 1 2
Mostre que se uma matriz A = ( a i j ) n x n é triangular superior,(isto é, os elementos situados abaixo da diagonal são iguais a zero) então det ⁡ A = a 11 a 22 … a n n .
Determine todos os valores de λ para os quais det ⁡ A - λ I n = 0 , em que (b) A =1 0 0 - 1 3 0 3 2 - 2
Determine os valores de λ∈R tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X . (a) A =2 0 0 3 - 1 0 0 4 3