Enunciado

Mostre que o ponto P = ( 4 ,   1 ,   - 1 ) não pertence à reta r : X = 2 ,   4 ,   1 + λ ( 1 ,   - 1 ,   2 ) e obtenha uma equação geral do plano determinado por r e P .

Passo 1

Para que o ponto P pertença à reta r , deve existir um número λ tal que:

4 ,   1 ,   - 1 = 2 ,   4 ,   1 + λ ( 1 ,   - 1 ,   2 )

Então vamos ver se existe esse número ok?:

4 ,   1 ,   - 1 = 2 ,   4 ,   1 + ( λ ,   - λ ,   2 λ )

Somando os dois vetores:

4 ,   1 ,   - 1 = ( 2 + λ ,   4 - λ ,   1 + 2 λ )

Igualando as coordenadas:

2 + λ = 4 4 - λ = 1 1 + 2 λ = - 1

Da primeira equação, temos

λ = 4 - 2 = 2

Porém na segunda equação temos λ = 3 e na terceira temos λ = - 1 .

Eita, encontramos 3 valores diferentes para λ D: isso quer dizer que não existe um λ que satisfaça nossa equação e portanto o ponto P não pertence à reta r :/

Passo 2

O plano que queremos passa pelos pontos P = ( 4 ,   1 ,   - 1 ) e por A = ( 2 ,   4 ,   1 ) (pois é um ponto da equação da reta) e ele tem vetor diretor ( 1 ,   - 1 ,   2 ) e A P → .

Como queremos a equação geral do plano, precisamos de um vetor normal dele, que vai ser dado pelo produto vetorial dos seus vetores diretores.

Sabemos que A P → = P - A = ( 2 ,   - 3 ,   - 2 ) , então:

n → = 1 ,   - 1 ,   2 ∧ 2 ,   - 3 ,   - 2 = ( 8 ,   6 ,   - 1 )

Então, a equação desse plano é escrita no formato

8 x + 6 y - z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto P ou A nessa equação. Substituindo A :

8 . 2 + 6 . 4 - 1 + d = 0

d = - 39

Então, a equação desse plano é

8 x + 6 y - z - 39 = 0

Resposta

8 x + 6 y - z - 39 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:a) π contém A = ( 1 ,1 ,1 ) , B = ( 1 ,0 ,1 ) e C = ( 1 ,2 ,3 ) .b) π : x - 2 y + 4 z + 1 = 0 .c) π : X = 1 ,2 ,0 + λ1 ,- 1 ,1 + μ( 0 ,1 ,- 2 ) .
O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .
Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : X = 1 ,0 ,2 + λ( 4 ,1 ,0 ) e é perpendicular a π : 3 x + y + z = 0 .
Obtenha uma equção geral do plano que contém a origem do sistema de coordenadas, é paralelo a r :- x = 1 - y / 4 = ( 1 - z ) / 5 e perpendicular a π : X = 1 ,2 ,3 + λ0 ,4 ,- 3 + μ( 1 ,- 1 ,- 2 ) .
Estude a posição relativa dos planos π 1 : 2 x + y + 3 z + 1 = 0 e π 2 : X = 1 ,1 ,1 + λ1 ,1 ,0 + μ( 2 ,- 1 ,m ) e verifique se existe algum valor de m para o qual π 1 e π 2 sejam perpendiculares.