Enunciado

Mostre que se A   tem um alinha de zeros e   B   é uma matriz qualquer para a qual o produto   A B   está definido, então   A B   também tem uma linha de zeros

Passo 1

Primeiramente, vamos expressar as matrizes A e B como matrizes quaisquer de dimensões n × n sendo que a primeira linha de A possui apenas entradas nulas. Assim:

A = 0 0 a 21 a 22 ⋯ 0 0 a 2 n - 1 a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n - 1 1 a n - 1 2 a n 1 a n 2 ⋯ a n - 1 n - 1 a n - 1 n a n n - 1 a n n e B = b 11 b 12 b 13 ⋯ b 1 n ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 b n 3 ⋯ b n n

Passo 2

Se realizarmos o produto matricial A B , veremos que resultará numa matriz n × n de forma:

A B = ( 0 . b 11 + 0 . b 21 + … + 0 . b n 1 ) ( 0 . b 12 + 0 . b 2 2 + … + 0 . b n 2 ) * * ⋯ 0 0 * * ⋮ ⋱ ⋮ * * * * ⋯ * * * *

A B = 0 0 0 * * * ⋯ 0 * ⋮ ⋱ ⋮ * * * ⋯ *

Sendo cada * uma entrada real. Logo, teremos uma matriz com ao menos uma linha de zeros.

Resposta

Vide a demonstração, provamos se A possui uma linha de zeros, seu produto com outra matriz de mesma dimensão B resultará numa matriz com uma linha de zeros podendo ser generalizada a qualquer dimensão.

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Em cada parte, encontre um seistema de equações lineares correspondente à matriz aumentada: 7 1 2 2 1 4 - 3 0 5 1