Enunciado

São dados o ponto P   ( 2 ,   1 ,   0 ) , a reta r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ 2 ,   1 ,   0 e o plano π : x + y + z - 3 = 0 . Para cada ponto Q, seja Q’ a projeção ortogonal de Q sobre   π . Determine os pontos Q da reta r tais que o triângulo PQQ’ tenha área 9 6 2 .

Passo 1

Animados galerinha ??

Quando λ = 1 :

r : X = 0 ,   0 ,   0 + 1 2 ,   1 ,   0

X = 2 ,   1 ,   0

Então o ponto P faz parte da reta r, certo?

Quando olhamos no plano:

x + y + z - 3 = 0

Se analisarmos o ponto P aqui:

2 + 1 + 0 = 3

3 = 3

Então o ponto pertence a reta e ao plano, ok?

Vamos desenhar o que está acontecendo:

Como nós achamos o vetor podemos achar também o comprimento de um dos lados, querem ver como??

Simples!!

Basta usarmos:

cos ⁡ α = P Q →   . N → P Q → . N → = Q Q ' P Q →

Como o ponto Q pertence à reta r, queremos determinar o vetor P Q . → Se Q pertence a reta:

Q = 0 ,   0 ,   0 + λ 2 ,   1 ,   0

Q = 2 λ ,   λ ,   0

Se já temos P e Q podemos achar o vetor:

P Q → = Q - P

P Q → = 2 λ ,   λ ,   0 - 2 ,   1 ,   0 = 2 λ - 2 ,   λ - 1 ,   0

Agora podemos achar o módulo do vetor P Q → :

P Q → = 2 λ - 2 2 + λ - 1 2

P Q → = 4 λ 2 - 8 λ + 4 + λ 2 - 2 λ + 1

P Q → = 5 λ 2 - 10 λ + 5

P Q → = 5 ( λ 2 - 2 λ + 1 ) = 5 λ - 1 2

P Q → = λ - 1 5

Olhando nosso plano:

x + y + z - 3 = 0

Conseguimos achar N → :

N → = ( 1 ,   1 ,   1 )

E seu módulo:

N → = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Agora é só achar o ângulo:

cos ⁡ α = 2 λ - 2 ,   λ - 1 ,   0   . ( 1 ,   1 ,   1 ) λ - 1 5 . 3 = 2 λ - 2 +   λ - 1 +   0 λ - 1 1 5

cos ⁡ α = 3 λ - 3 λ - 1 15 = 3 ( λ - 1 ) λ - 1 15 = 3 15

Sendo assim:

3 15 = Q Q ' λ - 1 5

Q Q ' = λ - 1 3

Passo 2

Conseguimos achar um comprimento de lado do triângulo, mas a área é dada como:

A = 1 2 P Q .   Q Q ' . sin ⁡ α

Então nós só precisamos do valor de seno, que facilmente podemos descobrir usando a relação:

sin ⁡ α 2 + cos ⁡ α 2 = 1

sin ⁡ α 2 + 3 15 2 = 1

sin ⁡ α 2 = 6 15

sin ⁡ α = 6 15 = 2 5

Substituindo:

A = 1 2 λ - 1 5 .   λ - 1 3 . 2 5 = 9 6 2

λ - 1 2 6 = 9 6

λ - 1 2 = 9

λ - 1 = ± 3

λ = 4           o u         λ = - 2

Quando λ = 4 :

Q = 8 ,   4 ,   0

E quando λ = - 2 :

Q = - 4 ,   - 2 ,   0

E fiiiim !!

Resposta

Q = 8 ,   4 ,   0

Q = - 4 ,   - 2 ,   0

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