Enunciado

Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P ,   Q ,   R e calcule a área do trângulo P Q R .

P 0 , - 2,0

Q 4,1 , - 2

R 5,3 , 1

Passo 1

Como o plano contém esses três pontos, podemos definir dois vetores que estão no plano fazendo:

P Q → = 4,1 , - 2 - 0 , - 2,0 = ( 4,3 , - 2 )

P R → = 5,3 , 1 - 0 , - 2,0 = ( 5,5 , 1 )

Certo?

Passo 2

Se temos dois vetores que estão no plano e queremos um vetor que seja perpendicular ao plano, significa que queremos um vetor que seja perpendicular simultaneamente a esses dois vetores que estão no plano.

ORA BOLOTAS, vamos fazer um produtinho escalar entre esses vetores então e a gente encontra um vetor não nulo perpendicular a eles dois!!

P Q → × P R →   = i j k 4 3 - 2 5 5 1 = 3 - 2 5 1 i - 4 - 2 5 1 j + 4 3 5 5 k

P Q → × P R →   = i j k 4 3 - 2 5 5 1 = 3.1 + 2.5 i - ( 4.1 + 2.5 ) j + 4.5 - 3.5 k

P Q → × P R →   = i j k 4 3 - 2 5 5 1 = 13   i - 14   j + 5   k

P Q → × P R → = ( 13 , - 14,5 )

E esse é o vetor ortogonal ao plano que queríamos! Ou qualquer vetor multiplor desse também serve!

Passo 3

Agora para saber a área do triângulo P Q R , acompanha aqui meu raciocínio...

A gente sabe calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores usando o produto vetorial entre esses dois vetores.

Um paralelogramo é formado por dois triângulos encaixados um no outro, certo?

Então se a gente imaginar o triângulo P Q R como a METADE de um paralelogramo, podemos dizer que a área dele é igual a METADE da área do paralelogramo formado pelos vetores P Q → e P R → .

E essa área a gente sabe calcular.

Vamos fazer isso?

A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre os vetores que formam os lados do paralelogramo. Assim, a área do triângulo que estamos procurando é

A = 1 2 P Q → × P R → = ( 13 , - 14,5 ) = 1 2 1 3 2 + ( - 14 ) 2 + 5 2 = 1 2 169 + 196 + 25

A = 1 2 390

Resposta

( 13 , - 14,5 )

A = 390 2

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