Enunciado

Qual é o ponto da diagonal mais próximo de P = ( x , y ) ? E da diagonal ∆ ' ?

Passo 1

Primeiro vamos escrever que diagonais são essas:

∆   = x , x ; x   ∈ R

∆ ' = { x , - x ; x   ∈ R }

Passo 2

Quando pensamos em ponto mais próximos, pensamos em segmentos perpendiculares.

O ponto de uma reta, mais próximo do ponto P é aquele que quando ligado ao P forma um segmento perpendicular à reta, ilustrando numa imagem:

Onde A   ∈   ∆   e B ∈   ∆ '

Passo 3

Das outras 2 últimas questões nós achamos quem eram os simétricos de um ponto ( x , y ) em relação a cada uma dessas diagonais, obviamente que o ponto médio pertence à diagonal, vamos usar esses valores conhecidos:

Simétrico de ( x , y ) em relação à é ( y , x ) , logo o ponto médio desses 2 é m 1 = ( x + y 2 , x + y 2 ) que também é o ponto A no nosso desenho

Simétrico de x , y em relação à ∆ ' é ( - y , - x ) , então o ponto médio do segmento que os liga é m 2 = x - y 2 , y - x 2 , que é o ponto B do desenho

Resposta

x + y 2 , x + y 2   e   x - y 2 , y - x 2  

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