Enunciado

Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas, sejam

r : X = 1 ,   1 ,   2 + λ 0 ,   1 ,   1

t :   x + z - 3 = 0                                 x - 2 y + z - 1 = 0

s : x + 2 = y + z = z + 1

Mostre que existe um único ponto comum a essas três retas e calcule o volume do tetraedro determinado por elas e pelo plano π : x + y - 3 z = 0 .

Passo 1

Para começarmos a resolução, vamos considerar as nossas retas r ,   s e t .

Primeiramente, desenvolveremos cada uma das equações da reta, a fim de acharmos o ponto de interseção entre as três retas.

Passo 2

Começando pela reta r , temos:

X = x = 1               y = 1 + λ z = 2 + λ

Para a reta s , temos:

x + 2 = y + z = z + 1 y + z = z + 1 ⇒ y = 1                       x + 2 = y + z ⇒ x - z = - 1

E para a reta t , temos:

x + z - 3 = 0                       x - 2 y + z - 1 = 0 ⇒ y = 1               x + z = 3

Dessa forma, podemos notar que as retas três retas podem ser igualadas, pois satisfazem mutuamente a condição de y = 1 , porém, obrigatoriamente com λ = 0 .

Passo 3

Agora, vamos resolver o sisteminha para acharmos os valores pedidos:

x - z = - 1   x + z = 3           ⇒ x = 1   z = 2

É importante notarmos que, realmente com λ = 0 , o sistema de equações r tem como solução os valores que nós achamos para x ,   y e z .

Logo, o ponto de interseção de tais retas é P = ( 1 ,   1 ,   2 ) .

Passo 4

Por fim, para calcularmos o volume do tetraedro, vamos analisar a figura ilustrativa da nossa situação:

Basta agora, acharmos as coordenadas dos pontos A ,   B e C , achando a interseção das retas com o plano. Com tais coordenadas em mãos, é fácil acharmos a área da base e altura do nosso tetraedro.

Passo 5

Temos, então:

A = 1 ,   - 1 ,   0

B = - 1 ,   1 ,   0

C = 2 ,   1 ,   1

D = 1 ,   1 ,   2

Começando pela área da base, vamos aplicar o produtor vetorial com dois lados da base:

A A B C = A B → ∧ B C → 2 = 11

Para a altura do tetraedro, temos:

H = d D ,   π = 1 + 1 - 6 1 2 + 1 2 + - 3 2 = 4 11  

Passo 6

Como temos a área da base e altura, usando a fórmula do volume de um tetraedro conseguimos calcular facilmente o volume pedido:

V A B C D = 1 3 . A A B C . H = 1 3 .   11 . 4 11 = 4 3

Resposta

O ponto comum é P = ( 1 ,   1 ,   2 ) e o volume, 4 / 3 .  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se os planos são paralelos, perpendiculares, ou nenhum. Se não, ind ind o ângulo entre eles. (Arredondar uma casa decimal.) 2 x - 3 y = z 4 x = 3 + 6 y + 2 z
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelos pontos ( 0 , - 2,5 ) e ( - 1,3 , 1 ) e seja perpendicular ao plano 2 z = 5 x + 4 y .
Encontre uma equação de plano para um plano que passe pelo ponto ( 3,1 , 4 ) e contenha a linha de interseção entre os planos x + 2 y + 3 z = 1 e 2 x - y + z = - 3
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares, ou nenhum. Se não, ind ind o ângulo entre eles. (Arredondar uma casa decimal.) x + 2 y - z = 2 2 x - 2 y + z = 1
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares, ou nenhum. Se não, ind ind o ângulo entre eles. (Arredondar uma casa decimal.) x - y + 3 z = 1 3 x + y - z = 2