Enunciado

A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 .

T :   R 3 → R 3 ,         T x , y , z = ( x - y + 2 z , y - z , - 2 x + y - 3 z )

Passo 1

A questão fornece um operador linear e pede para verificarmos se ele é invertível. Para isso, basta ver se a matriz de transformação admite inversa.

Para construir a matriz de transformação, temos que

T 1 ,   0 ,   0 = ( 1 ,   0 ,   - 2 )

T 0 ,   1 ,   0 = ( - 1 ,   1 ,   1 )

T 0 ,   0 ,   1 = ( 2 ,   - 1 ,   - 3 )

Assim,

T = 1 - 1 2 0 1 - 1 - 2 1 - 3

Note que

det ⁡ T = 1 ⋅ - 2 + 1 ⋅ - 2 + 2 ⋅ 2 = 0

Portanto, [ T ] não admite inversa e T não é invertível.

Resposta

T não é invertível

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Mostrar que a matriz de mudança de base entre duas bases ortonormais de um espaço euclidiano de dimensão finita é uma matriz ortogonal.
No espaço vetorial V = M N R consideremos o produto interno definido por A , B = t r A B t . Dada uma matriz M ∈ V , seja T M : V → V o operador linear definido por T M X = M X , ∀ X ∈ V . Mostre que
Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Sendo U um subespaço vetorial de V , indiquemos por E : V → U a projeção ortogonal de V sobre U . Provar que E é sobrejetora, isto é, I m E = U .
Determinar uma matriz ortogonal A t = A - 1 cuja primeira linha seja 1 5 , 2 5 .
Seja T um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano V . Se T u , u = 0 , para todo u ∈ V , mostrar que T = 0