Enunciado

Seja T : V → V um operador linear em um espaço vetorial de dimensão n . Mostre que

a) Para k ≥ n , T k = r k ( T ) , em que r k ( t ) e um polinômio de grau menor que n , que depende de k .

b) Se T e diagonalizável e seu polinômio característico tem m raízes distintas, então para k ≥ m , T k = r k ( T ) , em que r k ( T ) é um polinômio de grau menor que m , que depende de k .

c) A dimensão do espaço gerado por I , T , T 2 , … , T k , … é menor ou igual a n .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja T : V → V um operador linear em um espaço vetorial de dimensão n . Mostre que

a) Para k ≥ n , T k = r k ( T ) , em que r k ( t ) e um polinômio de grau menor que n , que depende de k .

b) Se T e diagonalizável e seu polinômio característico tem m raízes distintas, então para k ≥ m , T k = r k ( T ) , em que r k ( T ) é um polinômio de grau menor que m , que depende de k .

c) A dimensão do espaço gerado por I , T , T 2 , … , T k , … é menor ou igual a n .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Na letra (a) para k ≥ n , T k = r k ( T ) em que r k ( t ) , temos

q t   e   r k ( t )

Tal que,

t k = q t P t t + r k ( t )

Ficando,

t k v = a 0 v + a 1 t v + … + a k - 1 t k - 1 ( v )

Sendo,

B = { V , t v , … , T k - 1 v }

E na letra (b) para t k = r k , temos

t k   p a r a   k ≥ n

E por fim na letra ( c ) para a dimensão do espaço gerado por I , T , T 2 , … , T k , … , temos

t k v = a 0 I + a 1 T v + … + a k - 1 T k - 1 ( v )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) B = { V , t v , … , T k - 1 v }

b) t k   p a r a   k ≥ n

c) t k v = a 0 I + a 1 T v + … + a k - 1 T k - 1 ( v )

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