Enunciado

Sejam P um ponto qualquer de uma parábola, distinto do vértice, R sua projeção ortogonal sobre o eixo da parábola, M e N , respectivamente, os pontos que esse eixo intercepta a reta tangente e a reta normal em P . Prove que o comprimento de R N não depende de P , que o foco é ponto médio de M N , e que o vértice é o ponto médio de R M .

Passo 1

Vamos imaginar uma parábola do tipo y = k x 2 , onde k = 1 4 p , sendo p o parâmetro da parábola. Tomemos um ponto P qualquer, determinamos R e traçamos a reta tangente à parábola no ponto P . Veja a figura abaixo:

Seja P = a ,   k a 2 , de modo que R = 0 ,   k a 2 . A seguir, precisamos encontrar as coordenadas de M e N . Vamos determinar a equação da reta tangente à parábola em P . Podemos fazer isso utilizando conceitos de derivada:

y ' = 2 k x

Lembrando que a derivada representa o coeficiente angular da reta tangente, segue que o coeficiente angular da reta tangente em P é

m = 2 k a

Logo, a equação da reta tangente é:

y - y P = m x - x P ∴ y - k a 2 = 2 k a x - a ∴ y = 2 k a x - k a 2

Para encontramos as coordenadas de M , basta fazer x = 0 . Assim,

M = 0 ,   - k a 2 .

A seguir, vamos encontrar a equação da reta normal à parábola no ponto P . Como a reta tangente e a reta normal são perpendiculares, segue que o coeficiente angular dessa reta, m ' , é tal que:

m ' ⋅ m = - 1 ∴ m ' = - 1 2 k a

Logo, a equação da reta normal é:

y - y P = m x - x P ∴ y - k a 2 = - 1 2 k a x - a ∴ y = - 1 2 k a x + k a 2 + 1 2 k

Para encontramos as coordenadas de N , basta fazer y = 0 . Logo,

N = 0 ,   k a 2 + 1 2 k

Passo 2

Determinados os pontos M e N , podemos começar a provar o que desejamos.

R N - = k a 2 + 1 2 k - k a 2 = 1 2 k = 1 2 1 4 p = 2 p ∴ R N - = 2 p

Note que o valor de R N - não depende de P (já que não depende de a ), dependendo apenas do parâmetro p da parábola.

Passo 3

Finalmente, vamos calcular os pontos médios de M N - e R M - .

  1. Para M N - :
  2. P 1 = M + N 2 = 0 ,   - k a 2 + 0 ,   k a 2 + 1 2 k 2 = 0 , 1 4 k = 0 ,   p

    que é exatamente a posição do foco.

  3. Para R M - :

P 2 = R + M 2 = 0 ,   - k a 2 + 0 ,   k a 2 2 = 0 ,   0

que é exatamente a posição do vértice.

Resposta

Ver demonstração acima.

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Em cada um dos problemas 1 a 18, estabelecer a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:16. eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passa pelos pontos A 0,0 ,B 1,1 e C 3,1 .
Em cada um dos problemas 1 a 18, estabelecer a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:11. vértice: V - 4,3 ; foco: F - 4,1 .
Em cada um dos problemas 1 a 18, estabelecer a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:12. foco: F 2,3 ; diretriz: y = - 1
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.20. y 2 = - 100 x
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.22. y 2 - x = 0