Sejam a < b respectivamente as coordenadas dos pontos A e B sobre o eixo E . Determine as coordenadas dos pontos X_1, ..., X_(n-1) que dividem o segmento AB em n partes iguais.

Passo 1

E aí, pessoal!

Temos dois pontos  A  e  B  sobre um eixo  E , com coordenadas  a  e  b , onde  a < b .Precisamos determinar as coordenadas dos pontos  X 1 , X 2 , … , X n - 1  que dividem o segmento  A B  em  n  partes iguais.

Como vamos resolver isso?

O segmento  A B  tem comprimento  b - a .Dividi-lo em  n  partes iguais significa que cada parte terá comprimento

Δ = b - a n .

Os pontos de divisão  X k  (para  k = 1,2 , … , n - 1 ) estarão a uma distância  k ⋅ Δ  do ponto  A  ao longo do eixo.Como estamos no eixo (reta real), a coordenada de  X k  será a coordenada de  A  mais essa distância:

x k = a + k ⋅ b - a n .

Podemos simplificar essa expressão se desejarmos, mas essa já é a fórmula direta.

Vamos escrever explicitamente para cada  k  e verificar que para  k = n  obtemos  b , e para  k = 0  obtemos  a .

Passo 2

O comprimento total do segmento  A B  é  L = b - a .Dividindo em  n  partes iguais, cada parte mede:

d = L n = b - a n .

A partir de  A  (coordenada  a ), andamos  k  passos de tamanho  d  para chegar ao ponto  X k .Portanto:

X k = a + k ⋅ d = a + k ⋅ b - a n ,     k = 1,2 , … , n - 1 .

Podemos reescrever como:

X k = a + k n b - a = 1 k n a + k n b .

Isso mostra que  X k  é uma combinação linear convexa de  a  e  b , com peso  k n  em  b .

Verificação:

  • Se  k = 0 X 0 = a  (ponto  A ).
  • Se  k = n X n = a + n ⋅ b - a n = b  (ponto  B ).
  • Para  k = 1 , … , n - 1 , obtemos os pontos internos igualmente espaçados.

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

X k = a + k n ( b - a )

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