Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.1 - Ex. 21
- Demonstre que o ponto médio do segmento de reta que liga a
- Determine os comprimentos das medianas do triângulo com vértices em .
Passo 1
- Calculando a distância entre e , temos:
- Bom, vamos dizer é o ponto médio do segmento que liga os pontos e . Usando a fórmula que demonstramos no item (a), podemos encontrar igual a:
Dividindo ambos os lados por dois...
Agora vamos dizer que o ponto médio entre e é , então a distância entre e será:
Como é o ponto médio, sua distância até é igual a distância de até dividida por , assim:
Para resolver essa equação, vamos elevar ao quadrado dos dois lados:
Agora vamos comparar cada termo dessa equação:
Fazendo o mesmo para ...
Agora só falta nossa última coordenada!
Show! Já que , e nós acabamos de encontrar esses valores, então que era o que queríamos mostrar.
Passo 2
Da mesma forma, é o ponto médio do segmento que liga os pontos e , então:
E o ponto médio do segmento de a :
Agora vamos lembrar que a mediana de um triângulo nada mais é do que o segmento que liga o ponto médio de um dos lados de um triângulo ao outro vértice, sendo assim, e são nossas medianas. Beleza, então vamos calcular seus comprimentos!
Show! Então esses são os comprimentos que estávamos procurando
Resposta
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