Enunciado

Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P .

A = 2 4 3 1

Passo 1

O problema fornece uma matriz A e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz P de modo que P - 1 A P seja diagonal.

Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de A e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz P são as componentes dos autovetores.

já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:

det ⁡ A - λ I = 0

Assim,

2 - λ 4 3 1 - λ = 0

Portanto,

2 - λ 1 - λ - 12 = 0

Fazendo a distribuitiva:

2 - 2 λ - λ + λ 2 - 12 = 0 ⇒ λ 2 - 3 λ - 10 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau:

λ = 3 ± 9 + 40 2 = 3 ± 7 2

Desta forma, os autovalores são

λ 1 = - 2                 e                 λ 2 = 5

Como a dimensão da matriz é 2 e ela tem dois autovalores distintos, essa matriz é diagonalizável!!!

Passo 2

Bom, agora que já sabemos que a matriz pode ser diagonalizada, vamos achar os autovetores para construir a matriz P . Para isso, temos que resolver a equação:

A - λ I a b = 0 0

Com λ 1 = - 2 , temos

4 4 3 3 a b = 0 0

Note que as equações desse sistema são equivalentes e obtemos

a + b = 0 ⇒ b = - a

Portanto,

v 1 = a ,   b = a ,   - a = a   ( 1 ,   - 1 )

Por simplicidade, vamos escolher a = 1 . Assim, o primeiro autovetor é

v 1 = ( 1 ,   - 1 )

Essa será a primeira coluna da matriz P !

Fazendo a mesma coisa com λ 2 = 5 :

- 3 4 3 - 4 a b = 0 0

Novamente, as duas equações são equivalentes e tiramos

3 a - 4 b = 0 ⇒ b = 3 a 4

Assim,

v 2 = a ,   b = a , 3 a 4 = a   1 , 3 4

Vamos escolher a = 4 , de modo que

v 2 = ( 4 ,   3 )

Passo 3

Chegamos que os autovalores são λ 1 = - 2 e λ 2 = 5 , com os autovetores v 1 = ( 1 ,   - 1 ) e v 2 = ( 4 ,   3 ) . As colunas da matriz P serão os autovetores:

P = 1 4 - 1 3

Desta forma, fazendo o produto P - 1 A P , obtemos uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores:

P - 1 A P = - 2 0 0 5

Cuidado que a ordem importa: como colocamos v 1 na primeira coluna e v 2 na segunda, λ 1 vai aparecer na primeira e λ 2 na segunda. As respostas:

P = 4 1 3 - 1           e           P - 1 A P = 5 0 0 - 2

também são válidas!

Resposta

P = 1 4 - 1 3

P - 1 A P = - 2 0 0 5

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