Enunciado

Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares.

r : x - 1 2 = y - 3 5 = z 7                                               s : X = 1 ,   3 ,   0 + λ   ( 0 ,   - 7 ,   5 )

Passo 1

O exercício forneceu duas retas e quer que vejamos se elas são ortogonais ou perpendiculares. Uma reta que passa por ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) e tem vetor diretor ( a ,   b ,   c ) é escrita, na forma, simétrica, como

x - x 0 a = y - y 0 b = z - z 0 c

No caso da reta r , temos

x - 1 2 = y - 3 5 = z - 0 7

Assim, ela passa no ponto ( 1 ,   3 ,   0 ) e tem vetor diretor u → = ( 2 ,   5 ,   7 ) . Sua equação vetorial é

X = 1 ,   3 ,   0 + λ   ( 2 ,   5 ,   7 )

Já para s , temos

X = 1 ,   3 ,   0 + μ   0 ,   - 7 ,   5

Ela passa por ( 1 ,   3 ,   0 ) e tem vetor diretor v → = ( 0 ,   - 7 ,   5 ) .

Fazendo o produto escalar dos vetores diretores:

u → ⋅ v → = 0 - 35 + 35 = 0

Como o produto escalar dos vetores diretores é nulo, as retas são ortogonais, mas elas podem ser ortogonais reversas ou concorrentes. Se forem concorrentes, daí elas serão perpendiculares.

Passo 2

Note que ambas as retas passam pelo ponto ( 1 ,   3 ,   0 ) , basta tomar μ = λ = 0 . Sendo assim, elas são concorrentes nesse ponto. Como elas são ortogonais e concorrentes, elas são também perpendiculares!

Resposta

Ortogonais e perpendiculares.

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