Análise de Solução de um Sistema Linear

Teoria Completa

Sistemas lineares com solução

Neste capítulo vamos analisar as soluções dos sistemas lineares, sem ter que calcular nada!

Se liga no sistema abaixo:

x + y = 2 2 x + y = 3

Escrever esse sistema é a mesma coisa que fazer essa combinação linear ( C L ) :

1 2 x + 1 1 y = 2 3

Tá, mas porque eu escolhi escrever desse jeito?? É porque podemos ver se um sistema tem solução ou não com essa C L ! Isso é exatamente uma C L dos vetores 1,2 ,   ( 1,1 ) com os coeficientes x , y !!

Vamos ver se ( 2,3 ) é C L dos vetores olhando para os coeficientes e vendo se dá para escolher escalares que satisfaçam a equação.

Se você pegar x = y = 1 :

1,2 + 1,1 = 2,3

Pô deu certo! Então quer dizer que o sistema tem solução!!

Tá, mas por que isso tudo funciona?? Por que estamos testando se o vetor 2,3 pertence ao espaço gerado pelos vetores coeficientes do sistema linear. Esses vetores coeficientes são os que usamos para fazer a C L ali em cima, 1,1 ,   ( 1,2 ) . Se o vetor pertencer a esse espaço, então tem solução, caso contrário não tem.

Soluções de Sistemas Lineares Homogêneos

Você já viu no tópico anterior que sistemas lineares homogêneos são da forma   A x = 0 . Agora vamos formalizar algumas propriedades, que você também já viu, desse tipo de sistema:

  • A solução trivial sempre é solução do sistema linear homogêneo. Então quando ele possui uma solução ÚNICA, ela é sempre a solução trivial. A palavra trivial em matemática tem a ver com o 0 . Portanto, quando digo solução trivial, quero dizer que o vetor solução é:
  • x = ( 0,0 , … , 0 )

  • Se a solução NÃO FOR ÚNICA, ele possui infinitas soluções. Esta pode ser expressa como

um espaço gerado. Logo, é impossível ter DUAS soluções APENAS como solução do sistema linear HOMOGÊNEO.

OBS: Observe que ao escrever A x = 0 , estamos de novo abusando da notação, pois, na verdade, aquele “0” é o vetor nulo.

Notação: Daqui pra frente vamos chamar a solução do sistema homogêneo de S o . Se soubermos uma de suas soluções (ou seja, um dos vetores que pertencem a esse espaço gerado), dizemos que x ∈ S o , sacou? E isso implica que, A x = 0 , blz?

Vamos ver alguns exemplos:

Exemplo 1: Se x 1 ,   x 2 ∈ S o , então x 1 + x 2 ∈ S o ??

Vamos começar pela nossa tese. Seja A a matriz que possui como solução do sistema linear homogêneo S o . Sendo assim:

A x 1 + x 2 = 0 ⇒

A x 1 + A x 2 = 0

Agora, devemos aplicar nossas hipóteses. Se x 1 ,   x 2 ∈ S o , então eles são soluções do sistema linear homogêneo e, portanto:

A x 1 = 0

A x 2 = 0

Substituindo essas informações aonde paramos:

A x 1 + A x 2 = 0 ⇒

0 + 0 = 0

Logo, como chegamos em uma sentença verdadeira, é verdade o fato acima :D.

Solução particular de Sistemas Lineares Não Homogêneos

Já sabemos que sistemas lineares não homogêneos são do tipo A x = b . Então, se falarmos que v o é uma solução particular do sistema A x = b , sabemos que:

A v 0 = b

OBS: Lembra que não necessariamente existe apenas uma ÚNICA solução particular, podem existir infinitas, beleza?

Notação: Daqui pra frente vamos chamar o conjunto da solução particular (ou seja, do sistema A x = b ) de S b . Logo, se v o ∈ S b , então v o é uma solução particular do nosso sistema linear blz?

Exemplo: Seja v o ,   w o ∈ S b , então v o + w o ∈ S b ??

Bom, podemos ver que parece com o que já fizemos. Sendo assim, vamos começar pela tese:

A v o + w o = b ⇒

A v o + A w o = b

Agora utilizando nossa hipótese, podemos ver que:

A v o = b

A w o = b

Sendo assim:

A v o + A w o = b ⇒

b + b = b ⇒

2 b = b

Como sabemos que 2 b ≠ b , então a implicação é falsa! Mas uma coisa interessante, é observar que para 2 b = b , devemos ter b = 0 . Sendo assim, se a soma de duas soluções particulares pertence a um conjunto solução, esse conjunto deve ser o do sistema homogêneo associado!!!

Pera o que é um sistema linear homogêneo associado?

É aquele formado quando pegamos a mesma matriz do sistema A x = b , e trocamos o vetor b pelo vetor nulo, fazendo:

A x = 0

Nada de mais, né?

Solução Geral de um sistema linear

Já falei de solução do sistema homogêneo, particular e agora, falta mais o que?

Bom, como achamos a solução geral do sistema A x = b ??

A solução geral desse sistema linear é a solução do sistema linear homogêneo + solução do sistema linear não-homogêneo.

Sendo S a solução geral do sistema linear, podemos chamar S de

S = v 0 + S o

Lembre-se que v o ∈ S b e que S b é um conjunto solução! (podem ter infinitas soluções particulares!)

Solução Única e Infinitas Soluções

Bom, já sabemos quando o sistema linear tem solução, mas como vamos saber se essa solução vai ser única ou não??

Então, isso vai ter a ver com aquela parada de equações cartesianas e variáveis livres, se você não lembra muito bem dessa parte é bom voltar lá nesse capítulo e dar uma revisadinha. É o seguinte, olha esse sistema:

x + y - 2 z = - 2 x - y = 0 2 x + y - 3 z = - 3

Vamos dar uma analisada pra gente ver qual espaço esse sistema de equações representa...

Temos 3 equações e 3 variáveis, falta saber se tem alguma equação que é combinação das outras. Para isso, vamos passar pra forma de matriz aumentada e escalonar:

1 1 2 1 - 1 1 - 2 0 - 3 - 2 0 - 3 ⇒ E s c a l o n a m e n t o 1 0 0     1 1 0 - 2 - 1 0 - 2 - 1 0

Opa, uma linha zerou!! Isso significa que a equação que estava nela é combinação linear das outras.

Dessa forma, temos 2 equações linearmente independentes ( L I ) e 3 variáveis, logo, teremos 1 variável livre. Como o número de variáveis livres é igual a dimensão do espaço formado, sabemos que esse sistema representa um espaço de dimensão 1, ou seja, uma reta.

Uma reta são infinitos pontos, assim, a solução desse sistema não vai ser única. Sacou como funciona??

Não precisamos resolver o sistema para ver se a solução é única, basta escalonar e assim achar o número de variáveis livres que vai ser a dimensão do espaço. Se esse número for diferente de zero, o sistema tem infinitas soluções. Se for zero, quer dizer que o espaço representado tem dimensão 0, um ponto, logo, uma solução única.

Sistemas Lineares Sem Solução

E se o sistema não tiver solução??? Bom já vimos que é só ver se o vetor é ou não uma C L dos demais vetores coeficientes. Por exemplo se adicionarmos uma equação ao sistema do início do capítulo:

x + y = 2 2 x + y = 3 x = 2

Repare que ele é formado por 3 equações e duas incógnitas e que podemos achar x ,   y com as duas primeiras equações (No caso, já sabemos que com elas da x = y = 1 ). Ué? E a terceira? Com a terceira temos dois valores para x ao mesmo tempo! O que torna um absurdo e o sistema impossível.

Então, se o sistema tiver mais equações que incógnitas temos que ver as equações que estão sobrando. Caso elas satisfaçam os resultados obtidos, o sistema é possível, caso contrário, impossível.

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Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 22 – Fix. 1.9

Associe a cada sistema abaixo (uma letra) o problema correspondente (um número):

  1. x + y = 1 x + 2 y = 2 x + y = 3
  2. x + 2 y + 3 z = 1 x + 2 y - z = 2
  3. x + 2 y + 3 z = 1 x + y - z = 2 x - y - z = 3
  4. x + 2 y = 1 x + 3 y = 2
  1. 1,2 ∈ 1,1 , 2,3
  2. 1,2 ∈ 1,1 , 2,2 , ( 3 , - 1 )
  3. 1,2 , 3 ∈ 1,1 , 1 , 1,2 , 1
  4. 1,2 , 3 ∈ ⟨ 1,1 , 1 , 2,1 , - 1 , 3 , - 1 , - 1 〉
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Passo 1

Letra a)

Podemos ver que se tratam de 3 equações, então ficamos apenas com os números 3,4 . Como só possuímos duas variáveis, só temos duas colunas de coeficientes e, portanto, dois vetores coeficientes. Sendo assim, só pode ser o número 3 .

Letra b)

A letra b) só pode estar relacionado ao numero 1 ou 2 , pois so tem 2 equações. Como tem três variáveis, possui 3 vetores coeficientes no espaço gerado, então só pode ser o número 2 .

Passo 2

Letra c)

Como essa letra possui 3 equações só podemos escolher os números 3,4 . Mas como na letra a) já escolhemos a número 3 , só nos resta a opção 4 .

Letra d)

Por eliminação, só resta o número 1 .

Resposta

  1. 3
  2. -   2
  3. -   4
  4. -   1

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 60 – Prob. 2.3

Para cada um dos itens abaixo, dê um exemplo de um sistema com as características pedidas ou explique por que tal exemplo não pode existir.

  1. ( n o equações) = ( n o variáveis), infinitas soluções
  2. ( n o equações) < ( n o variáveis), solução única
  3. ( n o equações) > ( n o variáveis), nenhuma solução
  4. ( n o equações) > ( n o variáveis), infinitas soluções
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Passo 1

Letra a)

Quando possuímos um sistema com mais variáveis que equações, ele possui infinitas soluções, já que algumas das variáveis ficaria em função da outra. Só que o exercício pede o mesmo numero de equações que variáveis. Sendo assim, basta botarmos equações repetidas, como por exemplo:

x + y = 1 x + y = 1

Letra b)

Esse exemplo é impossível, pois a soluções só pode ser única se NO MÍNIMO o sistema tem o mesmo numero de equações e variáveis. Caso o numero de equações seja menor, alguma das variáveis ficará em função da outra, pois precisamos de uma equação para cada uma.

Passo 2

Letra c)

Vamos pegar um problema com solução única e botar uma equação a mais que torne o problema um absurdo.

x + y = 0 2 x + y = 0 x = 3

Se você resolver as duas primeiras equações verá que as soluções são x = y = 0 , mas botei uma terceira que diz que x TEM QUE ser 3 , o que torna o sistema todo impossível.

Letra d)

Vamos seguir o mesmo exemplo da letra a):

x + y = 1 x + y = 1 x + y = 1

Resposta

Exercício Resolvido #3

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 61 – Prob 2.8

Determine os valores de m para que o sistema 2 x + 8 y + 2 z = 3 4 x + m 2 y + m z = 6 possua:

  1. Uma única variável livre
  2. Duas variáveis livres
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Passo 1

Letra b)

Vamos começar pela letra b) dessa vez.

O único jeito de ter duas variáveis livres é se tivermos uma única equação com três variáveis. Assim, as duas equações devem ser múltiplas e para isso devemos escolher m = 4 . Pois assim, a equação fica:

4 x + 16 y + 4 z = 6 ⇒ 2 x + 8 y + 2 z = 3

Então, ficamos com:

2 x + 8 y + 2 z = 3 2 x + 8 y + 2 z = 3

O que é a mesma cosia que uma equação apenas.

Letra a)

Agora repare que para ter uma única variável livre, precisamos de duas equações não múltiplas, apenas. Pois, conseguimos isolar duas variáveis com duas equações. Sendo assim, basta que m seja diferente de 4 .

Resposta

  1. m ≠ 4
  2. m = 4

Exercício Resolvido #4

Lista 3 para a p1, 2014.2, exercício 10, Álgebra Linear, PUC-rio

Seja um sistema de equações lineares possível A x = b , tal que A ∈ M m × n ,   x ∈ M n × 1 ,   b ∈ M m × 1 .

Seja S o conjunto das soluções gerais de A x = b e S 0 do sistema homogêneo.

Prove que se x ∈ S e x 0 ∈ S 0 , então x + x 0 ∈ S .

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Passo 1

Bom, isto é uma clássica questão de “se, então”. Vamos equacionar a nossa tese:

A x + x 0 = b

Passo 2

Distribuindo (lembre-se que são matrizes):

A x + A x 0 = b

Agora temos que aplicar a nossa hipótese e provar que o lado esquerdo será igual a b .

Como x ∈ S , A x = b . E como x 0 ∈ S 0 , A x 0 = 0 .

Passo 3

Assim substituindo as hipóteses no lado esquerdo da equação:

b + 0 = b ∴